Producte cartesià

En matemàtiques, el producte cartesià de dos conjunts és una operació, que resulta en un atre conjunt, que els seus elements són tots els parells ordenats que poden formar-se de manera que el primer element del parell ordenat pertanyga al primer conjunt i el segon element pertanyga al segon conjunt.

Produto cartesià de l'els conjunts {x,i,z} i {1,2,3}

El producte cartesià rep el seu nom de René Descartes, la formulació del qual de la geometria analítica va donar orige a este concepte.

Eixemple

Per eixemple, donats els conjunts:

$A=\{1,2,3,4\}$

i

$B=\{a,b\}$

el seu producte cartesià de per B és:

$\begin{array}{ccccc}b& (1,b)& (2,b)& (3,b)& (4,b)\\ a& (1,a)& (2,a)& (3,a)& (4,a)\\ A\times B& 1& 2& 3& 4\end{array}$

que es representa:

$A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)\}$

i el producte cartesià de B per a és:

$\begin{array}{ccc}4& (a,4)& (b,4)\\ 3& (a,3)& (b,3)\\ 2& (a,2)& (b,2)\\ 1& (a,1)& (b,1)\\ B\times A& a& b\end{array}$

que es representa:

$B\times A=\{(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4)\}$

Vore que:

$(1,a)\ne (a,1)$

Ya que són parells ordenats.

Definició

És una colecció de dos objectes distinguits com a primer i segon, i es denota com (a, b), a on a és el «primer element» i b el «segon element». Daus dos conjunts A i B, el seu producte cartesià és el conjunt de tots els parells ordenats que poden formar-se en estos dos conjunts:

Pot definir-se llavors el quadrat cartesià d'un conjunt com A² = A × A.

El conjunt Z² pot visualisar-se com el conjunt de punts en el pla que les seues coordenades són número entero.

Eixemples

Número entero

Siga també el conjunt de tots els número entero Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producte cartesià de Z en si mateixa és Z² = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, és dir, el conjunt dels parells ordenats els components dels quals són sancers. Per a representar els número entero s'utilisa la recta numèrica, i per a representar el conjunt Z² s'utilisa un pla cartesià (en l'image).

Pintura i pinzells

Siguen els conjunts T de tubos de pintura, i P de pinzells:

$T=\{$

,

,

,

$\}$

$P=\{$

,

,

,

,

$\}$

El producte cartesià d'estos dos conjunts, T × P, conté tots els possibles emparejamientos de tubos de pintura i pinzells. De manera similar al cas d'un pla cartesià en l'eixemple anterior, este conjunt pot representar-se per mig d'una taula:

Vore també

• Relació binaria
• Producte directe
• Parell ordenat
• Tupla
• Potència d'un conjunt

Bibliografia

• Ralph, Seymour (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.