Coordenada

En geometria, un sistema de coordenades és un sistema de referència que utilisa un o més números (coordenades) per a determinar inequivocament la posició d'un punt o objecte geomètric.^[1] L'orde en que s'escriuen les coordenades és significatiu i a voltes li les identifica per la seua posició en una tupla ordenada; també li les pot representar en lletres, com per eixemple «la coordenada-x». L'estudi dels sistemes de coordenades és l'objecte de la geometria analítica, que permet formular problemes geomètrics de forma "numèrica".^[2]

Introducció

coordenades en geometria

En geometria, les coordenades són valors numèrics que determinen la posició d'un punt en un pla o en l'espai. En un pla euclídeo, la posició d'un punt pot vindre determinada per les distàncies a dos llínees rectes (eixos de coordenades) que es creuen en un punt (orige) en àngul recte; una de les coordenades es diu ordenada i l'atra abscissa. En l'espai euclídeo tridiomensional segons el sistema de Descartes, la posició d'un punt està determinada si s'especifiquen les distàncies a tres plans de coordenades que es creuen en un punt en àngul recte entre sí. No obstant estes formes d'especificar un punt no són les úniques possibles, les coordenades polars en el pla o les coordenades esfèriques (a on l'orige està en el centre d'una série d'esferes) o les coordenades cilíndriques en l'espai són atres formes que requerixen especificar menys distàncies i més ànguls d'orientació. En geografia, les coordenades s'elegixen com un sistema de coordenades aproximadament esfèric: latitut, llongitut i altura per damunt d'un nivell general conegut (com per eixemple, el de l'oceà). La latitut medix l'ubicació nort-sur d'un punt en relació en l'equador, la llongitut medix l'ubicació este-oest en relació en el meridiano de Greenwich, i l'altura representa l'elevació d'un punt sobre un nivell de referència, com el nivell d'el mar. Este sistema de coordenades és essencial per a l'ubicació precisa en la superfície terrestre i s'utilisa en cartografia, navegació, topografia i en tecnologies GNSS (Sistema Global de Navegació per Satèlit), proporcionant una base sòlida per a la representació geoespacial i la geolocalización precisa de llocs en tot lo món. El sistema de coordenades més utilisat és el sistema de coordenades rectangulars, també conegut com sistema de coordenades cartesianes. Eixe tipo de sistemes pot funcionar com un sistema de coordenades únic per a tot un espai euclídeo i els punts i objectes situats dins d'ell. Per a conseguir això es requerix la noció d'orige de coordenades. Les coordenades en el pla i en l'espai es poden definir d'un número illimitat de formes diferents. La resolució de numerosos problemes matemàtics o físics implica elegir aquell sistema de coordenades específic en el que el problema es resolga més fàcil o més convenient en cada cas particular.

coordenades en física i astronomia

En astronomia, les coordenades celests són un parell ordenat de cantitats angulars (per eixemple, ascensió recta i declinació), en les que es determina la posició de distints punts lluminosos i de punts auxiliars en l'esfera celest. En la pràctica, s'utilisen varis sistemes de coordenades celests. Cada u d'ells és essencialment un sistema de coordenades esfèriques (sense coordenades radials) en un pla fonamental i un orige elegits apropiadament. Depenent de l'elecció del pla fonamental, el sistema de coordenades celests es diu horisontal (pla de l'horisó), equatorial (pla equatorial), eclíptico (pla de l'eclíptica) o galàctic (pla galàctic). El concepte de sistemes de coordenades aplica a espais geomètrics més complexos que l'espai euclídeo, per eixa raó es requerix una definició formal de sistema de coordenades que especifique la posició de punts. Note's que per eixemple d'acort a la cosmologia moderna la forma de l'espai-temps és un espai curvat per lo que en l'univers no sempre seria possible usar coordenades cartesianes.

Definició formal

Donat un espai geomètric o topològic ___* $ℰ$ que tiene estructura de variedad diferenciable de dimensión n un sistema de coordenades es una difeomorfisme: $ϕ : ℰ \to A \subset ℝ^{n}$ , a on $A = ϕ [ℰ]$ es un conjunt abierto del espacio euclídeo n-dimensional. Es decir, per a cada punto $P \in ℰ$ tenemos les coordenades $ϕ (P) = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , el conjunt de todas estas n-tuplas per a el espacio $ℰ$ definix un sistema de coordenades local.

Eixemples de sistemes de coordenades

Sistema coordenat lineal

Artícul principal → Recta real.

És el conjunt dels número real representat gràficament per una recta en la que es poden ubicar tots els número natural, sancers, fraccionaris, decimals, etc.^[3]

Cada punt de la recta representa un número real, ya siga per mig d'una correspondència biunívoca o per mig d'una aplicació biyectiva, usada per a representar els números com a punts especialment marcats, com per eixemple els número enter per mig d'una recta cridada recta graduada com la sancera^[3] de punts ordenats i separats entre sí a la mateixa distància. El punt que representa el zero (___* $0$ ) es el punto de referencia principal del sistema de coordenades, llamado punto d'orige. Tomando en cuenta que cada uno dels puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto orige $O$ es troben tots els número real positius i a l'esquerra tots els número real negatius.^[4]

Per a representar un número de la recta real s'ampren les lletres mayúscules i les seues coordenades corresponents, per eixemple, els punts A(5), B(3), C(-3), D(-5),etc.

Recta real

Sistema de coordenades cartesianes

Artícul principal → coordenades cartesianes.

Erro al crear miniatura:

coordenades cartesianes

En un espai euclídeo, un sistema de coordenades cartesianes es definix per dos o tres eixos ortogonals igualment escalats, depenent de si és un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en ___* $ℝ^{n}$ se pueden definir sistemas n-dimensionals). El valor de cada una de les coordenades d'un punto (A) es igual a la proyecció ortogonal del vector de posición de dicho punto ( $𝐫_{A} = OA$ ) sobre un eix determinado:

Cada uno dels eixos está definido por un vector director y por el orige de coordenades. Por eixemple, el eix x está definido por el orige de coordenades (O) y un vector ( $𝐢$ ) tal que:

𝐢 = (1, 0, 0)

, cuyo módulo es

| 𝐢 | = 1

. El valor de la coordenada x d'un punt és igual a la proyecció ortogonal del vector de posició de dit punt sobre l'eix x:

Sistema de coordenades polars

Artícul principal → coordenades polars.

Erro al crear miniatura:

Localisació d'un punt en coordenades polars

Les coordenades polars són un sistema de coordenades bidimensional en el que cada punt o posició del pla es determina per mig d'un àngul i una distància.^[5]

S'elegix un punt com a pol i es pren una semirrecta des d'este punt com a eix polar. Per a un àngul donat ___* $θ$ , hay una única línia recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eix polar es $θ$ (medido en sentido contrario al de les agujas del reloj desde el eix hasta la línia). Entonces hay un único punto en esta línia cuya distancia con signo al orige es r per a un número dado r. per a un par de coordenades dado $(r, θ)$ hay un único punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenades. Por eixemple, $(r, θ)$ , $(r, θ + 2 π)$ y $(- r, θ + π)$ són todas coordenades polares per a el misme punto. El polo está representado por $(0, θ)$ per a cualquier valor de $θ$ .

Sistema de coordenades log-polars

Artícul principal → coordenades log-polars.

És un sistema de coordenades a on un punt s'identifica en dos números, un per al logaritme de la distància a un cert punt i un atre per a un àngul. Les coordenades logarítmiques estan estretament conectades en les coordenades polars, que generalment s'usen per a descriure dominis en el pla en algun tipo de simetria rotacional.

Sistema de coordenades cilíndriques

Artícul principal → coordenades cilíndriques.

El sistema de coordenades cilíndriques ___* $𝒞 = {(ρ, φ, z) | ρ > 0, 0 \leq φ < 2 π, z \in ℝ}$ se usa per a representar els puntos d'un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenades es una generalización del sistema de coordenades polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eix de referencia ortogonal a els atres dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eix $O z$ y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eix $O x$ y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada $z$ que determina l'altura del cilindre.

Sistema de coordenades esfèriques

Artícul principal → coordenades esfèriques.

De la mateixa manera que les coordenades cilíndriques, el sistema de coordenades esfèriques s'usa en espais euclidianos tridimensionals. Este sistema de coordenades esfèriques està format per tres eixos mútuament ortogonals que es tallen en l'orige. La primera coordenada és la distància entre l'orige i el punt, sent les atres dos els ànguls que és necessari girar per a alcançar la posició del punt.

coordenades geogràfiques

Artícul principal → coordenades geogràfiques.

Este tipo de coordenades cartogràfiques, subtipo de les coordenades esfèriques, s'usa per a definir punts sobre una superfície esfèrica. Hi ha varis tipos de coordenades geogràfiques. El sistema més clàssic i conegut és el que ampra la latitut i la llongitut, que poden mostrara en els següents formats:

DD — Decimal Degree (Graus Polars): ej. 49.500-123.500
DM — Degree:Minute (Graus:Minuts): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS — Degree:Minute:Second (Graus:Minuts:Segons): ej. 49:30:00-123:30:00

També es poden definir les coordenades d'un punt de la superfície de la Terra utilisant una proyecció cartogràfica. El sistema de coordenades cartogràfiques proyectades més habitual és el sistema de coordenades UTM.

coordenades curvilínies generals

Artícul principal → coordenades curvilínies.

Un sistema de coordenades curvilíneos és la forma més general de parametrizar o etiquetar els punts d'un espai localment euclídeo o d'una varietat diferenciable (globalment, l'espai pot ser euclídeo, pero no necessàriament). Si es tracta d'un espai localment euclídeo ___* $M$ de dimensión $m$ , se puede construir un sistema de coordenades curvilíneo local en torno a un punto $p$ siempre a partir de cualquier difeomorfisme que cumpla:

ϕ : M \to ℝ^{m} p \in M \land ϕ (p) = (0, 0, \dots, 0) \in ℝ^{m}

per a cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenades curvilínies como:

ϕ (q) = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m})

Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar ciertos sistemas de coordenades curvilínies como sistemas de coordenades ortogonals o incluso como sistemas de coordenades ortonormals. les coordenades cilíndriques y les coordenades esfèriques són casos particulares de sistemas de coordenades ortogonals sobre el espacio euclídeo $ℝ^{3}$ .

coordenades curvilínies ortogonals

Artícul principal → coordenades ortogonals.

Un sistema de coordenades curvilínies es diu ortogonal quan el tensor mètric expressat en eixes coordenades té una forma diagonal. Quan això succeïx moltes de les fòrmules del càlcul vectorial diferencial es poden escriure de forma particularment simple en eixes coordenades, podent-se aprofitar eixe fet quan existix per eixemple simetria axial, esfèrica o d'un atre tipo fàcilment representable en eixes coordenades curvilínies ortogonals. Les coordenades esfèriques i cilíndriques són casos particulars de coordenades curvilínies ortogonals.

coordenades homogénees

Artícul principal → coordenades homogénees.

En matemàtiques, i més concretament en geometria proyectiva, les coordenades homogénees són un instrument usat per a descriure un punt en l'espai proyectiu. Varen ser introduïdes pel matemàtic alemà August Ferdinand Möbius en l'any 1837. També poden usar-se com un sistema alternatiu de coordenades per a treballar en l'espai euclídeo, puix este pot vore's com un subconjunt de l'espai proyectiu. D'eixe modo, les coordenades homogénees són àmpliament usades en infografía per a la representació d'escenes en tres dimensions. La seua notació en forma matricial s'ampra en biblioteques de programació gràfica en 3D com OpenGL i Direct3D. En coordenades homogénees, tot punt bidimensional està definit per tres coordenades, de tal modo que un punt de dimensions $(x, y)$ , se representa por la terna

$(λ x, λ y, λ), λ \neq 0$

les coordenades en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si $λ = 1$ , per simplificació. En tres dimensions, sol ocórrer lo mateix.^[6]^[7]

Una conseqüència d'esta escritura és que un punt propi té infinites formes d'escriure's, puix està determinat per una relació d'equivalència entre el punt en qüestió i aquells atres continguts en la recta que genera. L'idea bàsica es tracta d'ampliar el pla euclídeo (en el cas bidimensional) al pla proyectiu. Açò implica la consideració dels punts impropis, o de l'infinit. Un punt impropi és aquell a on $λ = 0$ , i està determinat per la direcció d'una recta, continguda en el pla proyectiu.

Atres sistemes d'us comú

Alguns atres sistemes de coordenades comunes són els següents:

coordenades curvilínies són una generalisació dels sistemes de coordenades en general; el sistema es basa en l'intersecció de curves.
- coordenades ortogonals: Les superfícies de coordenades es troben en ànguls rectes.
- coordenades oblicuas: Les superfícies de coordenades no són ortogonals.
El sistema de coordenades log-polar representa un punt en el pla pelogaritme de la distància a l'orige i un àngul medit des d'una llínea de referència que interseca l'orige.
Les coordenades plückerianas són una forma de representar llínees en l'espai euclídeo tridimensional utilisant una sexta parella de números com coordenades homogénees.
coordenades generalisades s'utilisen en el tractament de la mecànica lagrangiana.
Les coordenades canòniques s'utilisen en el tractament de la mecànica hamiltoniana.

Les coordenades baricéntricas (n-simplex) s'utilisen per a representar diagrames ternarios i més generalment en l'anàlisis de triànguls. Varen ser introduïdes per primera volta per August Möbius, qui va resoldre la qüestió sobre el centre de gravetat de les masses situades en els vèrtiços del triàngul. Són invariantes afins, representant un cas especial de les coordenades generals homogénees. Un punt en coordenades baricéntricas es troba en un espai vectorial ___* $n$ -dimensional $E^{n}$ , y les coordenades reals en este caso se refieren a un sistema fijo de puntos que no se encuentran en el subespacio $(n - 1)$ -dimensional. les coordenades baricéntricas también se utilizan en topología algebraica en respecte a els puntos del simplex.^[8]
les coordenades trilineals són una de les muestras de coordenades homogéneas y se basan en un triángulo dado, de modo que la posición d'un punto se determina en relació con els lados d'este triángulo, principalmente por el valor de la distancia desde ellos, aunque són posibles atres variaciones. les coordenades trilineals se pueden convertir a coordenades baricéntricas en relativa facilidad; además, también són convertibles en coordenades rectangulares bidimensionals, per a lo que se utilizan les fórmulas correspondientes. Se utilizan en el contexto dels triángulos.^[9]
coordenades biangulares. En matemáticas, les coordenades biangulares són un sistema de coordenades del plano a on $C_{1}$ y $C_{2}$ són dos puntos fijos, y la posición d'un punto P no alineado con $\overline{C_{1} C_{2}}$ está determinada pels ángulos $∠ P C_{1} C_{2}$ y $∠ P C_{2} C_{1}$ . Este tipo de coordenades fue examinado por primera vez por Lazare Carnot, quien publicó sus resultados en 1803.^[10]
coordenades bipolares. són un sistema de coordenades ortogonals bidimensional, basado en les circunferencias d'Apolonio.^[11] Confusamente, el misme término también se usa a veces per a designar a les coordenades bicéntricas. Además, existe un tercer sistema también basado en dos polos (les coordenades biangulares).
les coordenades bicéntricas, (también denominades coordenades bipolares de dos centros) són un sistema de coordenades, basado en dos coordenades que dan les distancias desde dos centros fijos, $c_{1}$ y $c_{2}$ .^[11] Este sistema es muy útil en algunas aplicaciones científicas (como por eixemple, calcular el campo eléctrico d'un dipolo en un plano).^[12]^[13]
coordenades cónicas: són un sistema de tres dimensiones ortogonals que consta d'esferas concéntricas, que se describen por su radio, y dos familias de conos perpendiculares situados a lo largo dels eixos $O x \land O z$ .
coordenades parabólicas: són un sistema de coordenades ortogonals bidimensionals en el que les línies de coordenades són parábolas confocals. Una versión tridimensional de coordenades parabólicas se obtine per mig de la rotación del sistema bidimensional sobre el eix de simetría de les parábolas. les coordenades parabólicas són útiles en muchas aplicaciones, como por eixemple, en el tratamiento del efecto Stark y en la teoría del potencial dels bordes.
coordenades proyectives. Se denominan d'acuerdo con el espacio proyectiu $P n (K)$ sobre el que se definen, y representan una correspondencia biunívoca entre sus elementos y clases de subconjuntos finitos d'elementos del cuerpo $K$ , caracterizados per les propiedades d'equivalencia y ordenamiento. per a determinar les coordenades proyectives dels subespacios proyectius, es suficiente determinar les coordenades correspondientes dels puntos del espacio proyectiu. En el caso general, en respecte a alguna base, les coordenades proyectives se introducen por medios puramente proyectius.^[14]
les coordenades de Rindler se utilizan principalmente en el marco de la teoría de la relatividad y describen esa parte del espacio-tiempo plano, que generalmente se llama espacio de Minkowski. En la teoría especial de la relatividad, una partícula que se acelera uniformemente está en movimiento hiperbólico, y per a cada una d'esas partículas en les coordenades de Rindler se puede elegir un punto de referencia en relació con el que está en reposo.
Un sistema de coordenades toroidals es un sistema de coordenades ortogonals tridimensionals que se obté al girar un sistema de coordenades bipolares bidimensionals alrededor d'un eix que separa sus dos focos. els focos del sistema bipolar, respectivamente, se convierten en un anillo con radio $a$ , que se encuentra en el plano $O x y$ del sistema de coordenades toroidals, mientras que el eix $O z$ es convertix en l'eix de rotació del sistema. L'anell focal també es denomina a voltes círcul base.^[15]

coordenades parabòliques cilíndriques: Són un sistema de coordenades ortogonals tridimensionals obtingut com a resultat d'una transformació espacial d'un sistema de coordenades parabòliques bidimensionals. Les superfícies de revolució parabòliques confocals, respectivament, servixen com a superfícies coordenades. Les coordenades parabòliques cilíndriques estan relacionades en les coordenades rectangulars de certa manera i es poden aplicar en vàries àrees de l'investigació científica.^[16]

Hi ha formes de descriure curves sense coordenades, utilisant equacions intrínseques que usen cantitats invariantes com la curvatura i la llongitut d'arc. Estes inclouen:

l'equació de Whewell relaciona la llongitut d'arc i l'àngul tangencial.
l'equació de Cesàro relaciona la llongitut d'arc i la curvatura.

coordenades d'objectes geomètrics

Els sistemes de coordenades solen utilisar-se per a especificar la posició d'un punt, pero també poden utilisar-se per a especificar la posició de figures més complexes com rectes, plans, círculs o esferes. Per eixemple, les coordenades plückerianas permeten determinar la posició d'una llínea recta en l'espai. Quan és necessari, el tipo de figura que es descriu s'utilisa per a distinguir el tipo de sistema de coordenades, per eixemple el terme coordenades de la recta s'utilisa per a qualsevol sistema de coordenades que especifica la posició d'una llínea recta. Pot ocórrer que els sistemes de coordenades per a dos conjunts diferents de figures geomètriques siguen equivalents en térmens del seu anàlisis. Un eixemple d'això són els sistemes de coordenades homogéneus per a punts i rectes en el pla proyectiu. Els dos sistemes en un cas com este es diu que són duals. Els sistemes duals tenen la propietat de que els resultats d'un sistema poden traslladar-se a l'atre, ya que estos resultats són solament interpretacions diferents del mateix resultat analític; açò es coneix com el principi de dualitat.^[17]

Canvis de coordenades

En la resolució de problemes físics i matemàtics és comú l'estratègia del canvi de coordenades. En essència un canvi de coordenades supon canviar les variables de les que a depén el problema, a atres coordenades diferents en les que el problema pot tindre una forma equivalent pero més simple, que permet trobar la solució en major facilitat. Ya que a sovint existixen molts sistemes de coordenades possibles per a descriure figures geomètriques, és important entendre cóm es relacionen. Estes relacions es descriuen per mig de transformacions de coordenades que donen fòrmules per a les coordenades d'un sistema en térmens de les coordenades d'un atre sistema. Per eixemple, en el pla, si les coordenades cartesianes ___* $(x, y)$ y les coordenades polares $(r, θ)$ tienen el misme orige, y el eix polar es el eix positiu de $x$ , entonces la transformación de coordenades de les coordenades polares a les cartesianes viene dada por $x = r \cdot \cos (θ) \land y = r \cdot \sin (θ)$ . Más formalmente un cambio de coordenades puede representarse por un difeomorfisme o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también diferenciable) entre dos conjunts de $ℝ^{n}$ , aquí llamados $A$ y $B$ :

Este cambio de variable permite por eixemple reescribir integrals del siguiente modo:

a on:

f (𝐲), \tilde{f} (𝐱) = (f \circ ϕ) (𝐱)

representa la función que pretende integrarse expresada en les viejas y les nuevas coordenades.

J = | \det D ϕ (𝐱) |

es el jacobiano del cambio de coordenades.

D, \tilde{D} = ϕ^{- 1} (D)

és el domini d'integració expressat en les velles i les noves coordenades. Per a transformar o reescriure equacions diferencials en térmens de les noves coordenades s'usen les lleis de transformació tensorial:

coordenades de llínees rectes, curves, plans i superfícies

En dos dimensions, si una de les coordenades en un sistema de coordenades d'un punt es manté constant i l'atra coordenada es deixa variar, llavors la curva resultant es diu curva de coordenades. En el sistema de coordenades cartesianes les curves de coordenades són, de fet, llínees rectes, per lo que són denominades rectes coordenades. En concret, són les llínees parals a un dels eixos de coordenades. Per a atres sistemes de coordenades les curves de coordenades poden ser curves generals. Per eixemple, les curves de coordenades en coordenades polars obtingudes mantenint r constant són els círculs en centre en l'orige. Un sistema de coordenades per al que algunes curves de coordenades no són llínees rectes es denomina sistema de coordenades curvilínies.^[18] Este procediment no sempre té sentit, per eixemple no existixen curves de coordenades en els sistemes de coordenades homogéneus. En l'espai tridimensional, si es manté constant una coordenada i es permet que les atres dos varien, la superfície resultant es diu superfície de coordenades. Per eixemple, les superfícies de coordenades que s'obtenen mantenint constant ρ en el sistema de coordenades esfèriques són les esferes en centre en l'orige. En l'espai tridimensional'intersecció de dos superfícies de coordenades és una curva de coordenades. En el sistema de coordenades cartesianes es pot parlar de plans de coordenades. De la mateixa manera, les hipersuperficies de coordenades són els espais ___* $(n - 1)$ dimensionals que resultan de fijar una sola coordenada d'un sistema de $n$ coordenades.^[19]

Orige de coordenades

Artícul principal → Orige de coordenades.

l'orige de coordenades és el punt de referència d'un sistema de coordenades. En este punt, el valor de totes les coordenades del sistema és nul —per eixemple, el ___* $(0, 0)$ en $ℝ^{2}$ o $(0, 0, 0)$ en $ℝ^{3}$ —. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenades no es necesario establecer nulas todas les coordenades. Por eixemple, en un sistema de coordenades esfèriques es suficiente con establecer el radio nulo $(ρ = 0)$ , sent indiferents els valors de latitut i llongitut. En un sistema de coordenades cartesianes, l'orige és el punt en que els eixos del sistema se separen.

Vore també

Notes i referències

↑ Coordinate System en MathWorld.
↑ Coordinates en MathWorld.
↑ ^3,0 ^3,1 (1999) real Acadèmia de Ciències Exactes, Física i Naturals (ed.). Diccionari essencial de les ciències, Espsa. ISBN 84-239-7921-0.
↑ (2008) College Algebra, 5th edició, Brooks Cole, pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
↑ Finney, Ross. Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic, Single Variable Version edició, Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X.
↑ (2007) Àlgebra lineal i les seues aplicacions, 3 edició, Mèxic: Pearson, pp. 159, 162. ISBN 9789702609063.
↑ Ampliació de fonaments de matemàtica aplicada, Espanya: Club Universitari, p. 110. ISBN 9788484549772.
↑ Sklyarenko E.. coordenades baricéntricas, Enciclopedia Soviética.
↑ Weisstein, por Eric W. Trilinear Coordinates (Ing.) En el sitio MathWorld de Wolfram
↑ Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31
↑ ^11,0 ^11,1 «Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM, Bipolar Coordinates, CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999». Archivat des d'el original, el 12 de diciembre de 2007. Consultat el 2 d'abril de 2019.
↑ Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.
↑ fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.
↑ Voitsekhovsky M. I. coordenades proyectives. - Enciclopedia matemática. - M: Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ [1]
↑ https://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html
↑ Woods p. 2
↑ Tang, K. T. (2006). Métodos matemàtics per a ingeniers i científics, Springer, p. 13. ISBN 3-540-30268-9.
↑ Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation, Springer, p. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.

Bibliografia

Woods, Frederick S. (1922). Higher Geometry, Ginn and Co., pp. 1ff.
(2001) Geometry of Differential Forms, AMS Bookstore, p. 12. ISBN 0-8218-1045-6.
Gelfand I. M., Glagoleva I. G., Kirillov A. A. Método de coordenades. (enllaç inaccessible) Quinta edició, estereotipada. Série: Biblioteca de l'Escola de Física i Matemàtiques. Matemàtiques. Edició 1. M.: Nauka, 1973.
Delone N. B. coordenades en matemàtiques // Diccionari enciclopèdic Brockhaus i Efron : en 86 volums (82 volums i 4 adicionals). - SPb. , 1890-1907.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Coordenada.
Epsilones - L'invenció dels sistemes de coordenades
Hexagonal Coordinate Systems

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema de coordenades» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Coordinate System en MathWorld.

[2] Coordinates en MathWorld.

[raeCient-3] 3,0 ^3,1 (1999) real Acadèmia de Ciències Exactes, Física i Naturals (ed.). Diccionari essencial de les ciències, Espsa. ISBN 84-239-7921-0.

[4] (2008) College Algebra, 5th edició, Brooks Cole, pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.

[5] Finney, Ross. Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic, Single Variable Version edició, Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X.

[6] (2007) Àlgebra lineal i les seues aplicacions, 3 edició, Mèxic: Pearson, pp. 159, 162. ISBN 9789702609063.

[7] Ampliació de fonaments de matemàtica aplicada, Espanya: Club Universitari, p. 110. ISBN 9788484549772.

[8] Sklyarenko E.. coordenades baricéntricas, Enciclopedia Soviética.

[9] Weisstein, por Eric W. Trilinear Coordinates (Ing.) En el sitio MathWorld de Wolfram

[10] Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31

[bip-11] 11,0 ^11,1 «Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM, Bipolar Coordinates, CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999». Archivat des d'el original, el 12 de diciembre de 2007. Consultat el 2 d'abril de 2019.

[12] Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.

[13] s, adapted coordinates, and the eigenspectral method.

[14] Voitsekhovsky M. I. coordenades proyectives. - Enciclopedia matemática. - M: Enciclopedia soviética, 1977-1985.

[15] [1]

[16] ttps://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html

[17] Woods p. 2

[18] Tang, K. T. (2006). Métodos matemàtics per a ingeniers i científics, Springer, p. 13. ISBN 3-540-30268-9.

[19] Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation, Springer, p. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]