Coordenada

En geometria, un sistema de coordenades és un sistema de referència que utilisa un o més números (coordenades) per a determinar inequivocament la posició d'un punt o objecte geomètric.^[1] L'orde en que s'escriuen les coordenades és significatiu i a voltes li les identifica per la seua posició en una tupla ordenada; també li les pot representar en lletres, com per eixemple «la coordenada-x». L'estudi dels sistemes de coordenades és l'objecte de la geometria analítica, que permet formular problemes geomètrics de forma "numèrica".^[2]

Introducció

coordenades en geometria

En geometria, les coordenades són valors numèrics que determinen la posició d'un punt en un pla o en l'espai. En un pla euclídeo, la posició d'un punt pot vindre determinada per les distàncies a dos llínees rectes (eixos de coordenades) que es creuen en un punt (orige) en àngul recte; una de les coordenades es diu ordenada i l'atra abscissa. En l'espai euclídeo tridiomensional segons el sistema de Descartes, la posició d'un punt està determinada si s'especifiquen les distàncies a tres plans de coordenades que es creuen en un punt en àngul recte entre sí. No obstant estes formes d'especificar un punt no són les úniques possibles, les coordenades polars en el pla o les coordenades esfèriques (a on l'orige està en el centre d'una série d'esferes) o les coordenades cilíndriques en l'espai són atres formes que requerixen especificar menys distàncies i més ànguls d'orientació. En geografia, les coordenades s'elegixen com un sistema de coordenades aproximadament esfèric: latitut, llongitut i altura per damunt d'un nivell general conegut (com per eixemple, el de l'oceà). La latitut medix l'ubicació nort-sur d'un punt en relació en l'equador, la llongitut medix l'ubicació este-oest en relació en el meridiano de Greenwich, i l'altura representa l'elevació d'un punt sobre un nivell de referència, com el nivell d'el mar. Este sistema de coordenades és essencial per a l'ubicació precisa en la superfície terrestre i s'utilisa en cartografia, navegació, topografia i en tecnologies GNSS (Sistema Global de Navegació per Satèlit), proporcionant una base sòlida per a la representació geoespacial i la geolocalisació precisa de llocs en tot lo món. El sistema de coordenades més utilisat és el sistema de coordenades rectangulars, també conegut com sistema de coordenades cartesianes. Eixe tipo de sistemes pot funcionar com un sistema de coordenades únic per a tot un espai euclídeo i els punts i objectes situats dins d'ell. Per a conseguir això es requerix la noció d'orige de coordenades. Les coordenades en el pla i en l'espai es poden definir d'un número illimitat de formes diferents. La resolució de numerosos problemes matemàtics o físics implica elegir aquell sistema de coordenades específic en el que el problema es resolga més fàcil o més convenient en cada cas particular.

coordenades en física i astronomia

En astronomia, les coordenades celests són un parell ordenat de cantitats angulars (per eixemple, ascensió recta i declinació), en les que es determina la posició de distints punts lluminosos i de punts auxiliars en l'esfera celest. En la pràctica, s'utilisen varis sistemes de coordenades celests. Cada u d'ells és essencialment un sistema de coordenades esfèriques (sense coordenades radials) en un pla fonamental i un orige elegits apropiadament. Depenent de l'elecció del pla fonamental, el sistema de coordenades celests es diu horisontal (pla de l'horisó), equatorial (pla equatorial), eclíptico (pla de l'eclíptica) o galàctic (pla galàctic). El concepte de sistemes de coordenades aplica a espais geomètrics més complexos que l'espai euclídeo, per eixa raó es requerix una definició formal de sistema de coordenades que especifique la posició de punts. Note's que per eixemple d'acort a la cosmologia moderna la forma de l'espai-temps és un espai curvat per lo que en l'univers no sempre seria possible usar coordenades cartesianes.

Definició formal

Donat un espai geomètric o topològic $ℰ$ que té estructura de varietat diferenciable de dimensió n, un sistema de coordenades és un difeomorfisme: $ϕ : ℰ \to A \subset ℝ^{n}$ , a on $A = ϕ [ℰ]$ és un conjunt obert de l'espai euclidià n-dimensional. És a dir, per a cada punt $P \in ℰ$ tenim les coordenades $ϕ (P) = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , el conjunt de totes estes n-tuples per a l'espai $ℰ$ definix un sistema de coordenades local.

Eixemples de sistemes de coordenades

Sistema coordenat lineal

Artícul principal → Recta real.

És el conjunt dels número real representat gràficament per una recta en la que es poden ubicar tots els número natural, sancers, fraccionaris, decimals, etc.^[3]

Cada punt de la recta representa un número real, ya siga per mig d'una correspondència biunívoca o per mig d'una aplicació biyectiva, usada per a representar els números com a punts especialment marcats, com per eixemple els número enter per mig d'una recta cridada recta graduada com la sancera^[3] de punts ordenats i separats entre sí a la mateixa distància. El punt que representa el zero ( $0$ ) es el punto de referencia principal del sistema de coordenades, llamado punto d'orige. Tomando en cuenta que cada uno dels puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto orige $O$ es troben tots els número real positius i a l'esquerra tots els número real negatius.^[4]

Per a representar un número de la recta real s'ampren les lletres mayúscules i les seues coordenades corresponents, per eixemple, els punts A(5), B(3), C(-3), D(-5),etc.

Sistema de coordenades cartesianes

Artícul principal → coordenades cartesianes.

Erro al crear miniatura:

coordenades cartesianes

En un espai euclídeo, un sistema de coordenades cartesianes es definix per dos o tres eixos ortogonals igualment escalats, depenent de si és un sistema bidimensional o tridimensional (anàlogament en $ℝ^{n}$ es poden definir sistemes n-dimensionals). El valor de cada una de les coordenades d'un punt (A) és igual a la proyecció ortogonal del vector de posició de dit punt ( $𝐫_{A} = OA$ ) sobre un eix determinat:

Cada un dels eixos està definit per un vector director i per l'orige de coordenades. Per eixemple, l'eix x està definit per l'orige de coordenades (O) i un vector ( $𝐢$ ) tal que:

𝐢 = (1, 0, 0)

, el mòdul del qual és

| 𝐢 | = 1

. El valor de la coordenada x d'un punt és igual a la proyecció ortogonal del vector de posició de dit punt sobre l'eix x:

Sistema de coordenades polars

Artícul principal → coordenades polars.

Erro al crear miniatura:

Localisació d'un punt en coordenades polars

Les coordenades polars són un sistema de coordenades bidimensional en el que cada punt o posició del pla es determina per mig d'un àngul i una distància.^[5]

S'elegix un punt com a pol i es pren una semirrecta des d'este punt com a eix polar. Per a un àngul donat $θ$ , hi ha una única llínea recta que passa pel pol l'àngul de la qual en l'eix polar és $θ$ (medit en sentit contrari al de les agulles del rellonge des de l'eix fins a la llínea). Llavors hi ha un únic punt en esta llínea la distància en signe al qual a l'orige és r per a un número donat r. Per a un parell de coordenades donat $(r, θ)$ hi ha un únic punt, pero qualsevol punt està representat per molts parells de coordenades. Per eixemple, $(r, θ)$ , $(r, θ + 2 π)$ i $(- r, θ + π)$ són totes coordenades polars per al mateix punt. El pol està representat per $(0, θ)$ per a qualsevol valor de $θ$ .

Sistema de coordenades log-polars

Artícul principal → coordenades log-polars.

És un sistema de coordenades a on un punt s'identifica en dos números, un per al logaritme de la distància a un cert punt i un atre per a un àngul. Les coordenades logarítmiques estan estretament conectades en les coordenades polars, que generalment s'usen per a descriure dominis en el pla en algun tipo de simetria rotacional.

Sistema de coordenades cilíndriques

Artícul principal → coordenades cilíndriques.

El sistema de coordenades cilíndriques $𝒞 = {(ρ, φ, z) | ρ > 0, 0 \leq φ < 2 π, z \in ℝ}$ s'utilisa per a representar els punts d'un espai euclidià tridimensional. Resulta especialment útil en problemes en simetria axial. Este sistema de coordenades és una generalisació del sistema de coordenades polars del pla euclidià, al que s'afig un tercer eix de referència ortogonal als atres dos. La primera coordenada és la distància existent entre l'eix $O z$ i el punt, la segona és l'àngul que formen l'eix $O x$ i la recta que passa per abdós punts, mentres que la tercera és la coordenada $z$ que determina l'altura del cilindre.

Sistema de coordenades esfèriques

Artícul principal → coordenades esfèriques.

De la mateixa manera que les coordenades cilíndriques, el sistema de coordenades esfèriques s'usa en espais euclidianos tridimensionals. Este sistema de coordenades esfèriques està format per tres eixos mútuament ortogonals que es tallen en l'orige. La primera coordenada és la distància entre l'orige i el punt, sent les atres dos els ànguls que és necessari girar per a alcançar la posició del punt.

coordenades geogràfiques

Artícul principal → coordenades geogràfiques.

Este tipo de coordenades cartogràfiques, subtipo de les coordenades esfèriques, s'usa per a definir punts sobre una superfície esfèrica. Hi ha varis tipos de coordenades geogràfiques. El sistema més clàssic i conegut és el que ampra la latitut i la llongitut, que poden mostrara en els següents formats:

DD — Decimal Degree (Graus Polars): ej. 49.500-123.500
DM — Degree:Minute (Graus:Minuts): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS — Degree:Minute:Second (Graus:Minuts:Segons): ej. 49:30:00-123:30:00

També es poden definir les coordenades d'un punt de la superfície de la Terra utilisant una proyecció cartogràfica. El sistema de coordenades cartogràfiques proyectades més habitual és el sistema de coordenades UTM.

coordenades curvilínies generals

Artícul principal → coordenades curvilínies.

Un sistema de coordenades curvilíneos és la forma més general de parametrizar o etiquetar els punts d'un espai localment euclídeo o d'una varietat diferenciable (globalment, l'espai pot ser euclídeo, pero no necessàriament). Si es tracta d'un espai localment euclídeo $M$ de dimensió $m$ , es pot construir un sistema de coordenades curvilíneu local entorn d'un punt $p$ sempre a partir de qualsevol difeomorfisme que complixca:

ϕ : M \to ℝ^{m} p \in M \land ϕ (p) = (0, 0, \dots, 0) \in ℝ^{m}

per a qualsevol punt q pròxim a p es definixen les seues coordenades curvilínees com:

ϕ (q) = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m})

Si l'espai localment euclídeo té l'estructura de varietat de Riemann es poden classificar certs sistemes de coordenades curvilínies com a sistemes de coordenades ortogonals o inclús com a sistemes de coordenades ortonormals. Les coordenades cilíndriques i les coordenades esfèriques són casos particulars de sistemes de coordenades ortogonals sobre l'espai euclídeo $ℝ^{3}$ .

coordenades curvilínies ortogonals

Artícul principal → coordenades ortogonals.

Un sistema de coordenades curvilínies es diu ortogonal quan el tensor mètric expressat en eixes coordenades té una forma diagonal. Quan això succeïx moltes de les fòrmules del càlcul vectorial diferencial es poden escriure de forma particularment simple en eixes coordenades, podent-se aprofitar eixe fet quan existix per eixemple simetria axial, esfèrica o d'un atre tipo fàcilment representable en eixes coordenades curvilínies ortogonals. Les coordenades esfèriques i cilíndriques són casos particulars de coordenades curvilínies ortogonals.

coordenades homogénees

Artícul principal → coordenades homogénees.

En matemàtiques, i més concretament en geometria proyectiva, les coordenades homogénees són un instrument usat per a descriure un punt en l'espai proyectiu. Varen ser introduïdes pel matemàtic alemà August Ferdinand Möbius en l'any 1837. També poden usar-se com un sistema alternatiu de coordenades per a treballar en l'espai euclídeo, puix este pot vore's com un subconjunt de l'espai proyectiu. D'eixe modo, les coordenades homogénees són àmpliament usades en infografía per a la representació d'escenes en tres dimensions. La seua notació en forma matricial s'ampra en biblioteques de programació gràfica en 3D com OpenGL i Direct3D. En coordenades homogénees, tot punt bidimensional està definit per tres coordenades, de tal modo que un punt de dimensions $(x, y)$ , se representa por la terna

$(λ x, λ y, λ), λ \neq 0$

Les coordenades en dos dimensions es poden trobar més fàcilment si $λ = 1$ , per simplificació. En tres dimensions, sol ocórrer lo mateix.^[6]^[7]

Una conseqüència d'esta escritura és que un punt propi té infinites formes d'escriure's, puix està determinat per una relació d'equivalència entre el punt en qüestió i aquells atres continguts en la recta que genera. L'idea bàsica es tracta d'ampliar el pla euclídeo (en el cas bidimensional) al pla proyectiu. Açò implica la consideració dels punts impropis, o de l'infinit. Un punt impropi és aquell a on $λ = 0$ , i està determinat per la direcció d'una recta, continguda en el pla proyectiu.

Atres sistemes d'us comú

Alguns atres sistemes de coordenades comunes són els següents:

coordenades curvilínies són una generalisació dels sistemes de coordenades en general; el sistema es basa en l'intersecció de curves.
- coordenades ortogonals: Les superfícies de coordenades es troben en ànguls rectes.
- coordenades oblicuas: Les superfícies de coordenades no són ortogonals.
El sistema de coordenades log-polar representa un punt en el pla pelogaritme de la distància a l'orige i un àngul medit des d'una llínea de referència que interseca l'orige.
Les coordenades plückerianas són una forma de representar llínees en l'espai euclídeo tridimensional utilisant una sexta parella de números com coordenades homogénees.
coordenades generalisades s'utilisen en el tractament de la mecànica lagrangiana.
Les coordenades canòniques s'utilisen en el tractament de la mecànica hamiltoniana.

Les coordenades baricèntriques (n-simplex) s'utilisen per a representar diagrames ternaris i més generalment en l'anàlisis de triànguls. Varen ser introduïdes per primera volta per August Möbius, qui va resoldre la qüestió sobre el centre de gravetat de les masses situades en els vèrtexs del triàngul. Són invariants afins, representant un cas especial de les coordenades generals homogènees. Un punt en coordenades baricèntriques es troba en un espai vectorial $n$ -dimensional $E^{n}$ , i les coordenades reals en este cas es referixen ad un sistema fix de punts que no es troben en el subespai $(n - 1)$ -dimensional. Les coordenades baricèntriques també s'utilisen en topologia algebraica respecte als punts del símplex.^[8]
Les coordenades trillineals són una de les mostres de coordenades homogènees i es basen en un triàngul donat, de manera que la posició d'un punt es determina en relació als costats d'este triàngul, principalment pel valor de la distància des d'ells, encara que són possibles atres variacions. Les coordenades trillineals es poden convertir a coordenades baricèntriques en relativa facilitat; ademés, també són convertibles en coordenades rectangulars bidimensionals, per ad lo que s'utilisen les fòrmules corresponents. S'utilisen en el context dels triànguls.^[9]
Coordenades biangulars. En matemàtiques, les coordenades biangulars són un sistema de coordenades del plà a on $C_{1}$ i $C_{2}$ són dos punts fixos, i la posició d'un punt P no alineat en $\overline{C_{1} C_{2}}$ està determinada pels ànguls $∠ P C_{1} C_{2}$ i $∠ P C_{2} C_{1}$ . Este tipo de coordenades fon eixaminat per primera volta per Lazare Carnot, qui va publicar els seus resultats en 1803.^[10]
Coordenades bipolars. Són un sistema de coordenades ortogonals bidimensional, basat en les circumferències d'Apoloni.^[11] Confusament, el mateix terme també s'utilisa a voltes per a designar les coordenades bicèntriques. Ademés, existix un tercer sistema també basat en dos pols (les coordenades biangulars).
Les coordenades bicèntriques (també denominades coordenades bipolars de dos centres) són un sistema de coordenades basat en dos coordenades que donen les distàncies des de dos centres fixos, $c_{1}$ i $c_{2}$ .^[11] Este sistema és molt útil en algunes aplicacions científiques (com per eixemple, calcular el camp elèctric d'un dipol en un plà).^[12]^[13]
Coordenades còniques: són un sistema de tres dimensions ortogonals que consta d'esferes concèntriques, que es descriuen pel seu radi, i dos famílies de cons perpendiculars situats al llarc dels eixos $O x \land O z$ .
Coordenades parabòliques: són un sistema de coordenades ortogonals bidimensionals en el que les llínees de coordenades són paràboles confocals. Una versió tridimensional de coordenades parabòliques s'obté per mig de la rotació del sistema bidimensional sobre l'eix de simetria de les paràboles. Les coordenades parabòliques són útils en moltes aplicacions, com per eixemple en el tractament de l'efecte Stark i en la teoria del potencial de les vores.
coordenades proyectives. Es denominen d'acort en l'espai proyectiu $P n (K)$ sobre el que es definixen, i representen una correspondència biunívoca entre els seus elements i classes de subconjunts finits d'elements del cos $K$ , caracterisats per les propietats d'equivalència i ordenament. Per a determinar les coordenades proyectives dels subespais proyectius, és suficient determinar les coordenades corresponents dels punts de l'espai proyectiu. En el cas general, respecte ad alguna base, les coordenades proyectives s'introduïxen per mijos purament proyectius.^[14]
Les coordenades de Rindler s'utilisen principalment en el marc de la teoria de la relativitat i descriuen eixa part de l'espai-temps pla, que generalment es diu espai de Minkowski. En la teoria especial de la relativitat, una partícula que s'accelera uniformement està en moviment hiperbòlic, i per a cada una d'eixes partícules en les coordenades de Rindler es pot elegir un punt de referència en relació en el que està en repòs.
Un sistema de coordenades toroidals és un sistema de coordenades ortogonals tridimensionals que s'obté en girar un sistema de coordenades bipolars bidimensionals al voltant d'un eix que separa els seus dos focs. Els focs del sistema bipolar, respectivament, es convertixen en un anell en radi $a$ , que es troba en el pla $O x y$ del sistema de coordenades toroidals, mentres que l'eix $O z$ es convertix en l'eix de rotació del sistema. L'anell focal també es denomina a voltes círcul base.^[15]

coordenades parabòliques cilíndriques: Són un sistema de coordenades ortogonals tridimensionals obtingut com a resultat d'una transformació espacial d'un sistema de coordenades parabòliques bidimensionals. Les superfícies de revolució parabòliques confocals, respectivament, servixen com a superfícies coordenades. Les coordenades parabòliques cilíndriques estan relacionades en les coordenades rectangulars de certa manera i es poden aplicar en vàries àrees de l'investigació científica.^[16]

Hi ha formes de descriure curves sense coordenades, utilisant equacions intrínseques que usen cantitats invariantes com la curvatura i la llongitut d'arc. Estes inclouen:

l'equació de Whewell relaciona la llongitut d'arc i l'àngul tangencial.
l'equació de Cesàro relaciona la llongitut d'arc i la curvatura.

coordenades d'objectes geomètrics

Els sistemes de coordenades solen utilisar-se per a especificar la posició d'un punt, pero també poden utilisar-se per a especificar la posició de figures més complexes com rectes, plans, círculs o esferes. Per eixemple, les coordenades plückerianas permeten determinar la posició d'una llínea recta en l'espai. Quan és necessari, el tipo de figura que es descriu s'utilisa per a distinguir el tipo de sistema de coordenades, per eixemple el terme coordenades de la recta s'utilisa per a qualsevol sistema de coordenades que especifica la posició d'una llínea recta. Pot ocórrer que els sistemes de coordenades per a dos conjunts diferents de figures geomètriques siguen equivalents en térmens del seu anàlisis. Un eixemple d'això són els sistemes de coordenades homogéneus per a punts i rectes en el pla proyectiu. Els dos sistemes en un cas com este es diu que són duals. Els sistemes duals tenen la propietat de que els resultats d'un sistema poden traslladar-se a l'atre, ya que estos resultats són solament interpretacions diferents del mateix resultat analític; açò es coneix com el principi de dualitat.^[17]

Canvis de coordenades

En la resolució de problemes físics i matemàtics és comú l'estratègia del canvi de coordenades. En essència un canvi de coordenades supon canviar les variables de les que a depén el problema, a atres coordenades diferents en les que el problema pot tindre una forma equivalent pero més simple, que permet trobar la solució en major facilitat. Ya que a sovint existixen molts sistemes de coordenades possibles per a descriure figures geomètriques, és important entendre cóm es relacionen. Estes relacions es descriuen per mig de transformacions de coordenades que donen fòrmules per a les coordenades d'un sistema en térmens de les coordenades d'un atre sistema. Per eixemple, en el pla, si les coordenades cartesianes $(x, y)$ i les coordenades polars $(r, θ)$ tenen el mateix orige, i l'eix polar és l'eix positiu de $x$ , llavors la transformació de coordenades de les coordenades polars a les cartesianes ve donada per $x = r \cdot \cos (θ) \land y = r \cdot \sin (θ)$ . Més formalment un canvi de coordenades pot representar-se per un difeomorfisme o aplicació biyectiva i diferenciable (en inversa també diferenciable) entre dos conjunts de $ℝ^{n}$ , ací cridats $A$ i $B$ :

Este cambio de variable permite por eixemple reescribir integrals del siguiente modo:

a on:

f (𝐲), \tilde{f} (𝐱) = (f \circ ϕ) (𝐱)

representa la función que pretende integrarse expresada en les viejas y les nuevas coordenades.

J = | \det D ϕ (𝐱) |

es el jacobiano del cambio de coordenades.

D, \tilde{D} = ϕ^{- 1} (D)

és el domini d'integració expressat en les velles i les noves coordenades. Per a transformar o reescriure equacions diferencials en térmens de les noves coordenades s'usen les lleis de transformació tensorial:

coordenades de llínees rectes, curves, plans i superfícies

En dos dimensions, si una de les coordenades en un sistema de coordenades d'un punt es manté constant i l'atra coordenada es deixa variar, llavors la curva resultant es diu curva de coordenades. En el sistema de coordenades cartesianes les curves de coordenades són, de fet, llínees rectes, per lo que són denominades rectes coordenades. En concret, són les llínees parals a un dels eixos de coordenades. Per a atres sistemes de coordenades les curves de coordenades poden ser curves generals. Per eixemple, les curves de coordenades en coordenades polars obtingudes mantenint r constant són els círculs en centre en l'orige. Un sistema de coordenades per al que algunes curves de coordenades no són llínees rectes es denomina sistema de coordenades curvilínies.^[18] Este procediment no sempre té sentit, per eixemple no existixen curves de coordenades en els sistemes de coordenades homogéneus. En l'espai tridimensional, si es manté constant una coordenada i es permet que les atres dos varien, la superfície resultant es diu superfície de coordenades. Per eixemple, les superfícies de coordenades que s'obtenen mantenint constant ρ en el sistema de coordenades esfèriques són les esferes en centre en l'orige. En l'espai tridimensional'intersecció de dos superfícies de coordenades és una curva de coordenades. En el sistema de coordenades cartesianes es pot parlar de plans de coordenades. De la mateixa manera, les hipersuperficies de coordenades són els espais $(n - 1)$ dimensionals que resultan de fijar una sola coordenada d'un sistema de $n$ coordenades.^[19]

Orige de coordenades

Artícul principal → Orige de coordenades.

l'orige de coordenades és el punt de referència d'un sistema de coordenades. En este punt, el valor de totes les coordenades del sistema és nul —per eixemple, el $(0, 0)$ en $ℝ^{2}$ o $(0, 0, 0)$ en $ℝ^{3}$ —. No obstant, en alguns sistemes de coordenades no és necessari establir com a nules totes les coordenades. Per eixemple, en un sistema de coordenades esfèriques és prou en establir el radi nul $(ρ = 0)$ , sent indiferents els valors de latitut i llongitut. En un sistema de coordenades cartesianes, l'orige és el punt en què els eixos del sistema se separen.

Vore també

Notes i referències

↑ Coordinate System en MathWorld.
↑ Coordinates en MathWorld.
↑ ^3,0 ^3,1 (1999) real Acadèmia de Ciències Exactes, Física i Naturals (ed.). Diccionari essencial de les ciències, Espsa. ISBN 84-239-7921-0.
↑ (2008) College Algebra, 5th edició, Brooks Cole, pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
↑ Finney, Ross. Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic, Single Variable Version edició, Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X.
↑ (2007) Àlgebra lineal i les seues aplicacions, 3 edició, Mèxic: Pearson, pp. 159, 162. ISBN 9789702609063.
↑ Ampliació de fonaments de matemàtica aplicada, Espanya: Club Universitari, p. 110. ISBN 9788484549772.
↑ Sklyarenko E. (1977-1985). Coordenades baricèntriques, Enciclopèdia Matemàtica edició, Enciclopèdia Soviètica.
↑ Weisstein, Eric W. Trilinear Coordinates (anglés). En el lloc web MathWorld de Wolfram
↑ Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31
↑ ^11,0 ^11,1 «Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM, Bipolar Coordinates, CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999». Archivat des d'el original, el 12 de diciembre de 2007. Consultat el 2 d'abril de 2019.
↑ Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.
↑ fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.
↑ Voitsekhovsky M. I. coordenades proyectives. - Enciclopedia matemática. - M: Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ [1]
↑ https://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html
↑ Woods p. 2
↑ Tang, K. T. (2006). Métodos matemàtics per a ingeniers i científics, Springer, p. 13. ISBN 3-540-30268-9.
↑ Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation, Springer, p. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.

Bibliografia

Woods, Frederick S. (1922). Higher Geometry, Ginn and Co., pp. 1ff.
(2001) Geometry of Differential Forms, AMS Bookstore, p. 12. ISBN 0-8218-1045-6.
Gelfand I. M., Glagoleva I. G., Kirillov A. A. Método de coordenades. (enllaç inaccessible) Quinta edició, estereotipada. Série: Biblioteca de l'Escola de Física i Matemàtiques. Matemàtiques. Edició 1. M.: Nauka, 1973.
Delone N. B. coordenades en matemàtiques // Diccionari enciclopèdic Brockhaus i Efron : en 86 volums (82 volums i 4 adicionals). - SPb. , 1890-1907.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Coordenada.
Epsilones - L'invenció dels sistemes de coordenades
Hexagonal Coordinate Systems

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema de coordenades» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Coordinate System en MathWorld.

[2] Coordinates en MathWorld.

[raeCient-3] 3,0 ^3,1 (1999) real Acadèmia de Ciències Exactes, Física i Naturals (ed.). Diccionari essencial de les ciències, Espsa. ISBN 84-239-7921-0.

[4] (2008) College Algebra, 5th edició, Brooks Cole, pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.

[5] Finney, Ross. Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic, Single Variable Version edició, Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X.

[6] (2007) Àlgebra lineal i les seues aplicacions, 3 edició, Mèxic: Pearson, pp. 159, 162. ISBN 9789702609063.

[7] Ampliació de fonaments de matemàtica aplicada, Espanya: Club Universitari, p. 110. ISBN 9788484549772.

[8] Sklyarenko E. (1977-1985). Coordenades baricèntriques, Enciclopèdia Matemàtica edició, Enciclopèdia Soviètica.

[9] Weisstein, Eric W. Trilinear Coordinates (anglés). En el lloc web MathWorld de Wolfram

[10] Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31

[bip-11] 11,0 ^11,1 «Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM, Bipolar Coordinates, CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999». Archivat des d'el original, el 12 de diciembre de 2007. Consultat el 2 d'abril de 2019.

[12] Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.

[13] s, adapted coordinates, and the eigenspectral method.

[14] Voitsekhovsky M. I. coordenades proyectives. - Enciclopedia matemática. - M: Enciclopedia soviética, 1977-1985.

[15] [1]

[16] ttps://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html

[17] Woods p. 2

[18] Tang, K. T. (2006). Métodos matemàtics per a ingeniers i científics, Springer, p. 13. ISBN 3-540-30268-9.

[19] Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation, Springer, p. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]