Àngul tangencial

Archiu:Intrinsic coordinates (Whewell equation).png

Àngul tangencial φ en un punt d'una curva P.

En geometria, el àngul tangencial en un punt específic d'una curva del pla cartesiano, és l'àngul format entre la recta tangente a la curva en el punt donat i l'eix x. Deu tindre's en conte que alguns autors definixen l'àngul com la desviació de la direcció de la curva sobre algun punt de partida fix. Açò és equivalent a la definició donada ací per mig de l'adició d'una constant a l'àngul o a rotar la posició de la curva.

Equacions

Si (x(t), i(t)) definix una curva paramétricamente, l'àngul tangencial φ en t està definit (fins a un múltiple de 2π) per

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))|}=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

Ací, la prima (') indica la derivada sobre t. Si es considera en térmens cinemàtics que l'equació anterior representa el moviment d'una partícula respecte al temps, l'àngul tangencial especifica la direcció del vector velocitat (x(t), i(t)), mentres que la magnitut del vector especifica el seu celeritat. El vector

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))|}$

es diu vector tangente unitari, per lo que una definició equivalent és que l'àngul tangencial en t és l'àngul φ tal que (cos φ, sense φ) és el vector tangente unitari en t.

Si la curva està parametrizada per la llongitut d'arc s, llavors |x′(s), i′(s)| = 1, la definició se simplifica a

$(x^{\prime }(s),y^{\prime }(s))=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

En este cas, la curvatura κ ve donada per φ′(s), a on es considera que κ és positiva si la curva gira cap a l'esquerra i negatiu si la curva gira cap a la dreta.

Si la curva està donada per i = f(x), llavors es pot prendre (x, f(x)) com a parametrización, i supondre que φ està entre −Plantilla:Sfrac i Plantilla:Sfrac. Açò produïx l'expressió explícita

$\phi =\arctan f^{\prime }(x).$

Plantilla:AnchorÀngul tangencial polar

En coordenades polars, el àngul tangencial polar es definix com l'àngul entre la llínea tangente a la curva en el punt donat i el radi des de l'orige fins al punt. Si ψ indica l'àngul tangencial polar, llavors ψ = φ − θ, φ s'ajusta a la definició ya donada i θ és l'àngul polar.

Si la curva es definix en coordenades polars en r = f(θ), llavors es definix l'àngul tangencial polar ψ en θ (fins a un múltiple de 2π) per

$\frac{(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))}{|(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))|}=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Si la curva es parametriza per la llongitut d'arc s com r = r(s), θ = θ(s), llavors |r′(s), rθ′(s)| = 1, i la definició pren la forma

$(r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s))=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

l'espiral logarítmica es pot definir com una curva l'àngul tangencial de la qual polar és constant.

Vore també

• Geometria diferencial de curves
• Equació de Whewell
• Subtangente

Referències

Llectures adicionals

• «Notations» (en francés).
• Yates, R. C. (1952). A Handbook on Curves and Their Properties, Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 123–126.