Curvatura

Archiu:Costa's surface.gif

Superfície de Costa

En matemàtiques, la curvatura es referix a qualsevol d'una série de conceptes vagament relacionats en les diferents àrees de la geometria. Normalment es referix a un concepte mètric d'objectes matemàtics o geomètrics. Per extensió també s'usa el terme per a referir-se a un número o objecte matemàtic que caracterisa la forma i magnitut de la curvatura. Més específicament el terme curvatura pot referir-se a algun d'estos conceptes:

• Geometria diferencial de curves:
  • Curvatura d'una curva
  • Ràdio de curvatura

Geometria diferencial de superfícies:

• • Curvatura de Gauss
  • Curvatura mija
  • Curvatura principal
• Geometria diferencial general:
  • Geometria diferencial para superfícies
  • Tensor de curvatura
  • 2-forma de curvatura
• Física:
  • Curvatura de l'espai-temps

Explicació intuïtiva

Intuitivament, la curvatura és la cantitat per la qual un objecte geomètric dins d'un espai euclídeo es desvia de ser pla, o llineal, pero açò es definix de diferents maneres depenent del context. Hi ha una diferència clau entre la curvatura extrínseca, que es definix per als objectes incrustats en un atre espai (per lo general un espai euclidiano) de manera que es relaciona en el ràdio de curvatura dels círculs que toquen l'objecte, i la curvatura intrínseca, que es definix en cada punt en una varietat de Riemann. Este artícul tracta principalment en el primer concepte.

Un eixemple clar de curvatura extrínseca és la de la circumferència, que sempre té una curvatura igual al recíproc del seu ràdio. En els círculs més menuts, la curva és més pronunciada, i per lo tant tenen una major curvatura. La curvatura d'una curva suau es definix com la curvatura del seu círcul osculador en cada punt.

En un pla, esta és una magnitut escalar, pero en tres o més dimensions es pot definir un vector de curvatura que té en conte la direcció de la curva ademés de quina tan pronunciada és. La curvatura dels objectes més complexos (tals com superfícies o espais n-dimensionals, inclús curves) és descrita per objectes més complexos de l'àlgebra llineal, com el tensor de curvatura de Riemann en general.

Referències

• Plantilla:Springer