Curvatura mija

En matemàtica, la curvatura mija $H$ d'una superfície $S$ és una mida extrínseca de curvatura definida en geometria diferencial i que localment descriu la curvatura d'una superfície immersa surface en alguns ambients com l'espai euclídeo.

El concepte va ser introduït per Sophie Germain en el seu treball sobre teoria de l'elasticitat.

Definició

Siga $p$ un punt sobre la superfície $S$. Consideren-se totes les curvas $C_i$ sobre $S$ que passen a través del punt $p$ sobre la superfície. Tals $C_i$ tenen una curvatura associada $K_i$ donada en $p$. De totes eixes curvatura $K_i$, a lo manco una està caracterisada com màxima, ${\kappa }_1$ i una atra com mínima, ${\kappa }_2$, i eixes dos curvatura ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ són conegudes com les curvatura principals de $S$.

La curvatura mija en $p\in S$ és la mija de les curvatura Plantilla:Harv, i d'ahí el seu nom:

$H=\frac{1}{2}({\kappa }_1+{\kappa }_2).$

La curvatura mija es pot calcular respecte als coeficients de la primera i segona forma fonamental (Do carmo 1976, capítul 3, secció 3)

$H=\frac{Eg-2fF+Ge}{2(EG-F^2)}.$

A partir d'esta relació i la fòrmula de la curvatura Gaussiana es pot definir el polinomi

$P(\kappa )={\kappa }^2-2HK\kappa +K.$

Les raïls Del qual són les curvatura principals ${\kappa }_1,{\kappa }_2$.

En general Plantilla:Harv, per a una hipersuperficie $T$ la curvatura mija està donada per

$H=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\kappa }_i.$

Vore també

• Curvatura gaussiana
• Energia de Willmore

Referències

• .
• Pixen curvature en MathWorld.