Energia de Willmore

En geometria diferencial la energia de Willmore és una mida quantitativa de com una superfície donada es desvia d'una esfera en térmens de curvatura. L'expressió matemàtica de l'energia de Willmore d'una superfície tancada suau embeddida en l'espai Euclídeo tridimensional es definix com l'integral del quadrat de la curvatura mija. Es denomina aixina en honor al geómetra anglés Thomas Willmore.

Definició

L'energia de Willmore d'una superfície S tancada, suau i encaixada en l'espai Euclídeo tridimensional és:

$𝒲=\underset{S}{\int }{H}^{2}dA$

a on $H$ és la curvatura mija i dona és l'element d'àrea de S induït per l'espai ambiente.

Variant

En ocasions, es troba com a definició d'energia de Willmore l'expressió següent:

$𝒲=\underset{S}{\int }{H}^{2}dA-\underset{S}{\int }KdA$

a on $K$ és la curvatura de Gauss. Utilisant esta definició per a una superfície tancada, pel teorema de Gauss-Bonet, l'integral de la curvatura de Gauss es pot obtindre en térmens de la característica de Euler $\chi (S)$ de la superfície, despuix

$\underset{S}{\int }KdA=2\pi \chi (S),$

la qual és una invariante topològica i per tant és independent del embeddimiento particular en ${ℝ}^3$ que s'haja elegit. D'esta forma, l'energia de Willmore es pot expressar com

$𝒲=\underset{S}{\int }{H}^{2}dA-2\pi \chi (S)$

Una atra fòrmula equivalent a la variant donada és

$𝒲=\frac{1}{4}\underset{S}{\int }(k_1-k_2{)}^{2}dA$

a on $k_1$ i $k_2$ són les curvatura principals de la superfície.

Motivació

Les superfícies mínimes en ${ℝ}^3$ són per definició aquelles la curvatura mija de les quals s'anula en tot punt, és dir, $H\equiv 0$. Pel principi del màxim s'aplega a que no hi ha superfícies mínimes compactes sense vora en ${ℝ}^3$. En el seu lloc, resulta interessant fixar-se en superfícies tancades que minimisen l'energia de Willmore.

Vore també

• Conjectura de Willmore

Referències

• .