Característica de Euler

Nom	Image	Característica de Euler
Segment		1
Circumferència		0
Disc		1
Esfera		2
Тоro (producte de dos círculs)		0
Doble bou		−2
Тriple bou		−4
Pla proyectivo real		1
Banda de Möbius		0
Botella de Klein		0
Dos esferes (desconectades)		2 + 2 = 4
Tres esferes (desconectades)		2 + 2 + 2 = 6

En matemàtica i, en particular, en topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré és un invariante topològic, un número definit que servix per a descriure la forma o l'estructura d'una classe d'espais topològics. És denotada generalment per $χ$ (la lletra grega Ji).

La característica de Euler es va definir originalment para poliedres i es va usar per a provar vàries teoremes sobre ells, inclosa la classificació dels sòlits platònics, que s'ha descobert que figurava en un manuscrit inèdit de 1537 obra de Francesco Maurolico.^[1] Leonhard Euler, per qui es nomena el concepte, ho va introduir per als poliedres convexos de manera més general, pero no va poder provar rigorosament que és un invariante.

La seua coneguda fòrmula per als poliedres té l'expressió següent:

$χ = Vértices - Aristas + Caras$

En les matemàtiques modernes, la característica de Euler sorgix del concepte d'homologia i, de forma més abstracta, del àlgebra homológica, havent-se estés a la caracterisació de tot tipo de superfícies.

Característica de Euler en poliedres

Artícul principal → Teorema de Euler per a poliedres.

La característica de Euler d'un politopo de tres dimensions (poliedre) es pot calcular usant la fòrmula següent:

χ = V - A + C

a on V, A i C són els números de vèrtiços, d'arestes i de cares, respectivament. En particular, per a qualsevol poliedre homeomorfo a una esfera es té que

χ = V - A + C = 2

Per eixemple, per a un gaveta es complix que 6 + 8 - 12 = 2 i per a un tetraedre a la seua volta 4 + 4 - 6= 2. La fòrmula anterior també es diu la fòrmula de Euler, que es pot demostrar per inducció matemàtica o correspondència sobre una esfera.

Atres eixemples es poden trobar en la següent taula

Nom	Vèrtiços V	Arestes A	Cares C	Característica de Euler: V − A + C
Tetraedre	4	6	4	2
Gaveta	8	12	6	2
Octaedre	6	12	8	2
Dodecaedre	20	30	12	2
Icosaedre	12	30	20	2

Un poliedre que no siga homeomorfo a una esfera, com el poliedre toroidal de la figura, que té 48 cares, 22 vèrtiços i 70 arestes, el resultat obtingut és 22 - 70 + 48 = 0.

Taula en les característiques de Euler d'atres poliedres

Nom	Vèrtiços V	Arestes A	Cares C	Característica de Euler : V − A + C
Tetrahemihexaedro	6	12	7	1
Octahemioctaedro	12	24	12	0
Cubohemioctaedro	12	24	10	−2
Gran Icosaedre	12	30	20	2

Per a poliedres regulars, Arthur Cayley va derivar una forma modificada de la fòrmula de Euler utilisant la densitat D, figura de vèrtiç densitat d_v, i densitat de cara $d_{f}$ :

d_{v} V - E + d_{f} F = 2 D .

Esta versió val tant per a poliedres convexos (a on les #densitat són totes 1) com per als poliedres Kepler-Poinsot no convexos.

Els poliedres proyectivos tenen tots característica de Euler 1, com el pla proyectivo real, mentres que les superfícies dels poliedres toroidales tenen totes característica de Euler 0, com el toroide.

Grafos plans

Vore també: Grafo pla#Fòrmula de Euler

La característica de Euler es pot definir para grafos plas conexos per mig de la mateixa fòrmula $V - E + F$ que per a les superfícies polièdriques, a on F és el número de cares del grafo, incloent la cara exterior.

La característica de Euler de qualsevol grafo pla conexo G és 2. Açò es demostra fàcilment per inducció sobre el número de cares determinat per G, començant en un arbre com case base. Per a arbres, $E = V - 1$ i $F = 1$ . Si G té C components (grafos desconectats), el mateix argument per inducció sobre F mostra que $V - E + F - C = 1$ . Un dels pocs treballs de teoria de grafos de Cauchy també prova este resultat.

A través de la proyecció estereográfica el pla mapea a la 2-esfera, de modo que un grafo conexo mapea a una descomposició poligonal de l'esfera, que té característica de Euler 2. Este punt de vista està implícit en la prova de Cauchy de la fòrmula de Euler que es dona a continuació.

Demostració de la fòrmula de Euler

Hi ha moltes proves de la fòrmula de Euler. Una va ser donada per Cauchy en 1811, com seguix. S'aplica a qualsevol poliedre convexo, i més generalment a qualsevol poliedre la frontera del qual siga topológicamente equivalent a una esfera i que les seues cares siguen topológicamente equivalents a discs.

Llevar una cara de la superfície polièdrica. Apartant entre sí les arestes de la cara que falta, deformar tot el restant en un grafo pla de punts i curves, de tal forma que el perímetro de la cara que falta se situe exteriormente, rodejant el grafo obtingut, com ilustra el primer dels tres grafos per al cas especial de la gaveta. (La suposició de que la superfície polièdrica és homeomórfica a l'esfera al principi és lo que fa açò possible). Despuix d'esta deformació, les cares regulars deixen de ser-ho en general. El número de vèrtiços i arestes seguix sent el mateix, pero el número de cares s'ha reduït en 1. Per tant, demostrar la fòrmula de Euler per al poliedre es reduïx a demostrar que V - I + F = 1 per a este objecte deformat i pla.

Si hi ha una cara en més de tres costats, dibuixa una diagonal, és dir, una curva a través de la cara que conecta dos vèrtiços que encara no estan conectats. Cada nova diagonal afig una aresta i una cara i no canvia el número de vèrtiços, per lo que no canvia la cantitat V - I + F (la suposició de que totes les cares són discs és necessària ací, per a demostrar per mig del teorema de la curva de Jordan que esta operació aumenta el número de cares en un). Continua afegint arestes d'esta manera fins que totes les cares siguen triangulars.

Aplicar repetidament qualsevol de les dos transformacions següents, mantenint el invariante de que la frontera exterior és sempre un cicle simple:

Eliminar un triàngul en una sola aresta adjacent a l'exterior, com s'ilustra en el segon gràfic. Açò disminuïx el número d'arestes i cares en una cada una i no canvia el número de vèrtiços, per lo que preserva V - I + F.
Elimina un triàngul en dos arestes compartides per l'exterior del grafo, com ilustra el tercer grafo. Cada eliminació de triàngul elimina un vèrtiç, dos arestes i una cara, per lo que preserva V - I + F.

Estes transformacions acaben reduint el grafo pla a un únic triàngul. (Sense el invariante de cicle simple, eliminar un triàngul podria desconectar els triànguls restants, invalidant el restant de l'argument. Una orde d'eliminació vàlida és un eixemple elemental de shelling).

En este punt el triàngul solitari té V = 3, I = 3, i F = 1, de modo que V - I + F = 1. ya que cada u dels dos passos de transformació anteriors conserva esta cantitat, hem demostrat V - I + F = 1 per a l'objecte deformat, pla demostrant aixina V - I + F = 2 per al poliedre. Açò demostra la teorema.

Per a proves adicionals, vejau Vintiuna Proves de la Fòrmula de Euler per David Eppstein.^[2] Múltiples proves, incloent els seus defectes i llimitacions, s'utilisen com a eixemples en Proves i #Refutació d'Imre Lakatos.^[3]

Definició topològica

Les superfícies polièdriques de les que s'ha parlat anteriorment són, en llenguage modern, complexos CW finitos bidimensionales. (Quan només s'utilisen cares triangulars, són complexos simplicialesés finitos bidimensionales). En general, per a qualsevol complex CW finito, la característica de Euler' pot definir-se com la suma alternada

χ = k_{0} - k_{1} + k_{2} - k_{3} + \dots,

a on k_n denota el número de celes de dimensió n en el complex.

Análogamente, per a un complex simplicial, la característica de Euler és igual a la suma alterna

χ = k_{0} - k_{1} + k_{2} - k_{3} + \dots,

a on k_n denota el número de n-simplexes en el complex.

Alternativa al número de Betti

De forma més general, per a qualsevol espai topològic, podem definir el n número de Betti b_n com el ranc d'homologia singular del grup n. La característica de Euler pot definir-se llavors com la suma alternada

χ = b_{0} - b_{1} + b_{2} - b_{3} + \dots .

Esta cantitat està ben definida si els números de Betti són tots finitos i si són zero a partir d'un cert índex n₀. Per a complexos simpliciales, esta no és la mateixa definició que en el paràgraf anterior, pero un càlcul d'homologia mostra que les dos definicions donaran el mateix valor per a $χ$ .

Generalisació a les superfícies

Una superfície compacta com l'esfera, el bou, el bi-bou, un disc en vora, etc. sorgixen de deformar de forma contínua un poliedre. Per eixemple, si deformem un icosaedre fins a obtindre una esfera les arestes es transformaran en curves sobre l'esfera, les cares seran "triànguls" i els vèrtiços seran punts sobre les mateixes. Aixina l'esfera quedarà "triangulada" (Vejau triangulació). Per a definir la característica d'una superfície s'usaren estes triangulacions realisant la fòrmula anàloga χ(S) = Triànguls - Costats + Vèrtiços. En realitat les triangulacions no deuen ser fetes necessàriament en triànguls, sino en qualsevol polígon, tenint en conte que dos polígons solament compartixquen una aresta com a màxim, i que, si compartixen un costat, solament compartixquen els dos vèrtiços d'eixe costat. Aixina la generalisació de la característica de Euler per a una superfície tancada S és

χ (S) = Polígonos - Lados + Puntos

La característica de Euler de superfícies orientades tancades es relaciona en la seua gènero g, que és un número que descriu la cantitat de «torres» que té la superfície. La relació és donada per:

χ (S) = 2 - 2 g

Per eixemple: El bou (la rosquilla) té una torra i per lo tant $χ = 2 - 2 g = 2 - 2 = 0$ .

Definició general i propietats

Per a un CW-complex finito i en particular per a un complex simplicial finito, la característica de Euler es pot definir com la suma alternada

χ = k_{0} - k_{1} + k_{2} - \dots,

a on k_i denota el número de cèlules de dimensió i.

Llavors, es pot definir la característica de Euler d'una varietat com la característica de Euler d'un complex simplicial homeomorfo a ell. Per eixemple, el círcul i el bou tenen característica de Euler 0 i les boles sòlides tenen característica de Euler 1.

La característica de Euler és independent de la triangulació. La fòrmula es pot també utilisar per a les descomposicions en polígons arbitraris.

Per a les varietats tancades, la característica de Euler coincidix en el número de Euler, és dir, la classe de Euler de la seua fibrado tangente evaluat en la classe fonamental de la varietat.

Per a les varietats de Riemann tancades, la característica de Euler pot trobar-se també integrant la curvatura -- veja el teorema de Gauss-Bonnet per al cas de dos dimensions i el teorema de Gauss-Bonnet generalisat per al cas general. Un anàlec discret del teorema de Gauss-Bonnet és la teorema de Descartes que el "defecte total" d'un poliedre, medit en círculs complets, és la característica de Euler del poliedre; vejau defecte (geometria).

Més generalment encara, per a qualsevol espai topològic, podem definir el n-ésimo número de Betti b_n com el ranc del n-ésimo grup d'homologia. La característica de Euler es pot llavors definir com la suma alternada

χ = b_{0} - b_{1} + b_{2} - b_{3} + \dots .

Esta definició té sentit si els números de Betti són tots finitos i zero més allà de cert índex n₀.

Dos espais topològics que són equivalents homotópicos tenen grups isomorfos d'homologia i per lo tant la mateixa característica de Euler.

D'esta definició i la dualitat de Poincaré, se seguix que la característica de Euler de qualsevol varietat tancada de dimensió impar és zero.

Si M i N són espais topològics, llavors la característica de Euler del seu producte M × N és

χ (M \times N) = χ (M) \cdot χ (N)

.

La característica de Euler es comporta be sobre moltes operacions bàsiques sobre espais topològics, com seguix.

Invariancia de homotopía

L'homologia és un invariante topològic, i ademés un invariante de homotopía: Dos espais topològics que són homotópicamente equivalents tenen isomorfisme de grups homológicos. D'això es deduïx que la característica de Euler és també una invariante homotópica.

Per eixemple, qualsevol espai contràctil (és dir, una homotopía equivalent a un punt) té homologia trivial, lo que significa que el 0 º número de Betti és 1 i els demés 0. Per lo tant, la seua característica de Euler és 1. Per tant, la seua característica de Euler és 1. Este cas inclou l'espai euclídeo $ℝ^{n}$ de qualsevol dimensió, aixina com la bola unitària sòlida en qualsevol espai euclídeo — l'interval unidimensional, el disc bidimensional, la bola tridimensional, etc.

Per posar un atre eixemple, qualsevol poliedre convexo és homeomorfo a la bola tridimensional, per lo que la seua superfície és homeomorfa (per tant homotópicamente equivalent) a l'esfera bidimensional, que té característica de Euler 2. Açò explica per qué els poliedres convexos tenen característica de Euler 2.

Principi d'inclusió-exclusió

Si M i N són dos espais topològics qualssevol, llavors la característica de Euler de la seua unió disjunta és la suma de les seues característiques de Euler, ya que l'homologia és aditiva baix unió disjunta:

χ (M ⊔ N) = χ (M) + χ (N) .

Més generalment, si M i N són subespacios d'un espai major X, llavors també ho són la seua unió i intersecció. En alguns casos, la característica de Euler obedix a una versió del principi d'inclusió-exclusió:

χ (M \cup N) = χ (M) + χ (N) - χ (M \cap N) .

Conjunt parcialment ordenat

El concepte de característica de Euler d'un poset finito acotat és una atra generalisació, important en combinatòria. Un poset és acotat si té elements mínims i màxims, que podem cridar 0 i 1. La característica de Euler de tal poset és μ(0,1), a on μ és la funció de Möbius en l'àlgebra d'incidència d'eixe poset.

Vore també

Referències

↑ Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins (vol. 59), Birkhäuser, p. 71. doi:10.1007/978-3-319-72487-4. ISBN 978-3-319-72486-7.
↑ Eppstein, David. «Vintiuna Proves de la Fòrmula de Euler: V-I+F=2».
↑ Imre Lakatos: Proves i #refutació, Cambridge Technology Press, 1976

Bibliografia

Euler characteristic en Encyclopaedia of Mathematics (en anglés)
Característica de Euler in the Encyclopaedia of Mathematics

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Característica de Euler» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins (vol. 59), Birkhäuser, p. 71. doi:10.1007/978-3-319-72487-4. ISBN 978-3-319-72486-7.

[Eppstein2013-2] Eppstein, David. «Vintiuna Proves de la Fòrmula de Euler: V-I+F=2».

[3] Imre Lakatos: Proves i #refutació, Cambridge Technology Press, 1976

[1]

[2]

[3]