Teorema de Gauss-Bonnet

Un eixemple de regió complexa a on la teorema de Gauss-Bonnet pot ser aplicat. Es mostra el signe de la curvatura geodèsica.

La teorema de Gauss-Bonnet en geometria diferencial és una proposició important sobre superfícies que conecta la seua geometria (en el sentit de la curvatura) en la seua topología (en el sentit de la característica de Euler).

Es nomena per Carl Friedrich Gauss que era conscient d'una versió de la teorema pero que mai la va publicar, i de Pierre Ossian Bonnet que va publicar un cas especial en 1848.

Definició

Suponga's que M és una varietat de Riemann compacta orientable de dimensió 2, en vora $\partial M$. Denote's per K la curvatura gaussiana en els punts de M i per k_g la curvatura geodèsica en els punts de $\partial M$. Llavors

$\underset{M}{\int }KdA+\underset{\partial M}{\int }{k}_{g}ds=2\pi \chi (M)$

a on χ(M) és la característica de Euler de M.

La teorema es pot aplicar en particular a superfícies compactes sense frontera, en el cas de la qual l'integral $\underset{\partial M}{\int }{k}_{g}ds$ és omesa. Llavors s'obté que la curvatura total Gaussiana d'una superfície tancada és igual a 2π voltes la característica de Euler. Note que la característica de Euler d'una superfície orientable, compacta i sense frontera és 2-2g, a on g és el gènero de la superfície. Qualsevol superfície orientable compacta sense frontera és topológicamente equivalent a una esfera en torres i g és el número d'elles.

Si es dobla o deforma la superfície M la seua característica de Euler no canviarà, ya que este és un invariante topològic, mentres que les curvatura canviaran en alguns punts. La teorema expressa de forma sorprenent que l'integral total de totes les curvatura permaneixerà igual sense importar cóm deformem a M. Per lo tant, si tenim una esfera en una abolladura, llavors la seua curvatura total és 4π (ya que la característica de Euler de l'esfera és 2), sense importar qué tan profunda o gran siga la abolladura.

La compacidad de la superfície és crucial. Considere el disc obert de ràdio un que és una superfície Riemanniana compacta i sense frontera en curvatura 0 i característica de Euler 1. Llavors la fòrmula de Gauss-Bonnet no se satisfà, del costat esquerre de l'equació obtenim 0 i del costat dret 2π. Si considerem el disc tancat de ràdio un llavors obtenim 2π del costat esquerre per lo que obtenim una igualtat en la fòrmula.

Com a aplicació, com un bou té característica de Euler igual a zero, llavors la seua curvatura total és zero. Si el bou té la mètrica Riemanniana heretada pel espai Euclidiano de dimensió tres, llavors la part més propenca a el "forat" té curvatura Gaussiana negativa, la part més alluntada té curvatura Gaussiana positiva i la curvatura total és efectivament igual a zero. És possible construir un bou identifiquen els costats oposts d'un quadrat, en el cas del qual la seua mètrica Riemanniana és plana. És dir, té curvatura Gaussiana constant 0, i per lo tant curvatura total igual a zero. De la fòrmula de Gauss-Bonnet es conclou que el bou de dimensió dos no té cap mètrica Riemanniana en curvatura Gaussian positiva en tots costats o en curvatura Gaussiana negativa en tots costats.

De la teorema també es deduïxen resultats interessants per a triànguls. Supongam que M és una superfície Riemanniana, no necessàriament compacta, i considerem un triàngul en M format per tres geodèsiques. Denotem per T a la superfície formada per l'interior del triàngul i la seua frontera per péntols donada per les tres geodèsiques. La curvatura geodèsica de cada geodèsica és zero i la característica de Euler de T és 1. Llavors la teorema de Gauss-Bonnet nos diu que la suma dels ànguls externs més la curvatura total de T és igual a 2π. Recordant que un àngul exterior és igual a π menys l'àngul interior, podem reescriure lo anterior de la forma següent:

La suma dels ànguls interiors d'un triàngul geodèsic és igual a π més la curvatura total del triàngul.

En el cas del pla a on la curvatura Gaussiana és zero i les geodèsiques són llínees (o segments de llínees) recobrem la fòrmula usual de la suma dels ànguls d'un triàngul. En l'esfera, a on la curvatura és 1 en tot punt, veem que la suma dels ànguls d'un triàngul geodèsic és major que π. En l'espai hiperbòlic de dimensió dos, a on la curvatura és -1 en tot punt, la suma dels ànguls d'un triàngul geodèsic és menor que π.

Generalisacions

Una generalisació a n dimensions va ser trobada en els anys 40 per Allendoerfer, Weil i Chern. Vore el teorema de Gauss-Bonnet generalisat i el homomorfisme de Chern-Weil.

Vore també

• Teorema de Gauss-Bonnet generalisat
• Homomorfisme de Chern-Weil