Teorema de Gauss-Bonnet generalisat

En matemàtiques, la teorema de Gauss-Bonnet generalisat presenta la característica de Euler d'una varietat de Riemann tancada com a integral de cert polinomi derivat de la seua curvatura. És una generalisació directa del teorema de Gauss-Bonnet a la dimensió parell en general.

Definició

Siga M una varietat de Riemann compacta de la dimensió 2n i siga Ω la forma de curvatura de la conexió de Levi-Civita. Açò significa que Ω és $𝔰𝔬(2n)$-valorada en M. Tal Ω pot ser mirat com a matriu anti-simètrica 2n×2n les entrades de la qual siguen 2-formes, aixina que és una matriu sobre l'anell conmutativo ${\bigwedge }^{\text{par}}{T}^{*}M$. Un pugues per lo tant prendre el Pfaffiano de Ω Pf(Ω) que resulta ser una 2n-forma.

La teorema de Gauss-Bonnet generalisat establix que

$\underset{M}{\int }\text{Pf}(\Omega )=2^n{\pi }^n\chi (M)$

a on χ denota la característica de Euler de M.

Atres generalisacions

Com en la teorema de Gauss-Bonnet, hi ha generalisacions quan M és una varietat en vora.

Vore també

• Homomorfisme de Chern-Weil
• Número de Pontryagin
• Classe de Pontryagin