Pfaffiano

En matemàtiques, el determinant d'una matriu antisimètrica sempre es pot escriure com el quadrat d'un polinomi que opera sobre les senyes de la matriu, un polinomi en coeficients sancers que solament depenen del tamany de la matriu. El valor d'este polinomi, quan s'aplica als coeficients d'una matriu antisimètrica, es denomina pfaffiano de la matriu. El terme pfaffiano va ser introduït per Arthur Cayley (1852) qui va adoptar este nom en memòria de Johann Friedrich Pfaff. El pfaffiano (considerat com un polinomi) no es desvanix solament per a matrius antisimètriques d'orde 2n&claves;2n, en el cas de la qual és un polinomi de grau n.

Explícitament, per a una matriu antisimètrica A,

$\mathrm{pf}(A{)}^2=\det (A),$

lo que possiblement va ser demostrat per primera volta per Thomas Muir en 1882 Plantilla:Harv.

El fet de que el determinant de qualsevol matriu antisimètrica siga el quadrat d'una expressió polinomial pot demostrar-se escrivint la matriu com una matriu per blocs, utilisant un procés d'inducció i examinant el complement de Schur, que també és antisimètric.

Eixemples

$A=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right].\mathrm{pf}(A)=a.$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right].\mathrm{pf}(B)=0.$

(3 és impar, llavors el pfaffiano de B és 0)

$\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right]=af-be+dc.$

El pfaffiano d'una matriu tridiagonal antisimètrica d'orde 2n&claves;2n es dona com

$\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cccc}0& a_1& 0& 0\\ -a_1& 0& b_1& 0\\ 0& -b_1& 0& a_2\\ 0& 0& -a_2& \ddots & \ddots \\ & & & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ & & & & -b_{n-1}& 0& a_n\\ & & & & & -a_n& 0\end{array}\right]=a_1{a}_2\cdots a_n.$

(Deu tindre's en conte que qualsevol matriu antisimètrica es pot reduir a esta forma en tots els $b_i$ iguals a zero; vore teoria espectral de matrius antisimètriques)

Definició formal

Siga A = {a_i,j} una matriu antisimètrica d'orde 2n×2n. El pfaffiano de A està definit per l'equació

$\mathrm{pf}(A)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}$

a on S_2n és el grup simètric de dimensió (2n)! i sgn (σ) és la signatura de σ.

Es fa us de la antisimetría de A per a evitar tindre que sumar totes les possibles permutació. Siga Π el conjunt de totes les particions de {1, 2, ..., 2n} en parelles sense importar l'orde. Hi ha (2n)! / (2ⁿn !) = (2n-1)!! de tals particions. Un element α ∈ Π es pot escriure com

$\alpha =\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots ,(i_n,j_n)\}$

en i_k < j_k i $i_1<i_2<\cdots <i_n$. Fent

${\pi }_{\alpha }=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & 2n-1& 2n\\ i_1& j_1& i_2& j_2& \cdots & i_n& j_n\end{array}\right]$

la permutació corresponent. Donada una partició α com l'anterior, es definix

$A_{\alpha }=\mathrm{sgn}({\pi }_{\alpha })a_{i_1,j_1}{a}_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

El pfaffiano de A ve dau per

$\mathrm{pf}(A)=\sum _{\alpha \in \Pi }{A}_{\alpha }.$

El pfaffiano d'una matriu n&claves;n antisimètrica per a n impar es definix com zero, ya que el determinant d'una matriu antisimètrica impar és zero, ya que per a una matriu asimètrica, $\det A=\det A^{\text{T}}=\det (-A)=(-1{)}^n\det A$, i per a n impar, açò implica que $\det A=0$.

Definició recursiva

Per convenció, el pfaffiano de la matriu 0 × 0 és igual a un. El pfaffiano d'una matriu antisimètrica A d'orde 2n×2n en n> 0 es pot calcular recursivamente com

$\mathrm{pf}(A)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^{2n}(-1{)}^{i+j+1+\theta (i-j)}{a}_{ij}\mathrm{pf}(A_{\hat{ı}\hat{ȷ}}),$

a on l'índex i es pot seleccionar arbitrariament, $\theta (i-j)$ és la funció escaló de Heaviside i $A_{\hat{ı}\hat{ȷ}}$ indica la matriu A en la i-ésima i j-ésima files i columnes eliminades. Observe's cóm per a l'opció especial $i=1$ es reduïx a l'expressió més simple:

$\mathrm{pf}(A)=\sum _{j=2}^{2n}(-1{)}^j{a}_{1j}\mathrm{pf}(A_{\hat{1}\hat{ȷ}}).$

Definicions alternatives

Es pot associar a qualsevol matriu antisimètrica d'orde 2n×2n A = { a_ij} un bivector

$\omega =\sum _{i<j}{a}_{ij}{e}_i\wedge e_j.$

a on {i₁, i₂, ..., i_2n} és la base estàndar de R²ⁿ. El pfaffiano llavors es definix per l'equació

$\frac{1}{n!}{\omega }^n=\mathrm{pf}(A)e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_{2n},$

a on ωⁿ denota el producte en falca de n copies de ω.

Una generalisació no nula del pfaffiano de matrius de dimensions impars es dona en el treball de Bruijn sobre integrals múltiples que involucren determinants. En particular, per a qualsevol matriu A d'orde mxm, utilisa la definició formal anterior, pero configurant $n=\lfloor m/2\rfloor$. Per a m impar, es pot demostrar que açò és igual al pfaffiano usual d'una matriu antisimètrica d'orde m+1xm+1, a on s'ha agregat una m+1-ésima columna que consistix en m elements 1, una m+1-ésima fila que consta de m elements -1, i l'element del cantó que és zero. Les propietats usuals dels pfaffianos, per eixemple, la relació en el determinant, s'apliquen a esta matriu estesa.

Vore també

• Determinant (matemàtica)
• Model Dimer
• Hafniano
• Poliominó
• Física estadística

Referències

• (1852).Cambridge and Dublin Mathematical Journal.VII

40–51. reimpreso en papers matemàtics recopilats, volum 2.

• Plantilla:Cite arXiv
• (2007).MIT Press..
• (2009).MIT Press..
• (1996).The Games and Puzles Journal.2(14)

204–5.

• (2002).Journal of Integer Sequences.5(1)
• (1997) The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, revised edició, p. 182. ISBN 0-14-026149-4.
• (1882) A Treatise on the Theory of Determinants, Macmillan and Co.. Online
• (1954).The American Mathematical Monthly.61(2)doi:10.2307/2307800.

• (2012).ACM Trans. Math. Softw..38doi:10.1145/2331130.2331138.
• (1955).J. Indian Math. Soc..19

131–151.