Doble factorial

En matemàticas, el producte de tots els sancers des de l'1 fins a un sancer no-negatiu n que té la mateixa paritat (parells o impar) que n es diu doble factorial o semifactorial de n i es representa com a n!!. Es definix per:^[1]

n!! = \prod_{k = 0}^{⌈ \frac{n}{2} ⌉ - 1} (n - 2 k) = n (n - 2) (n - 4) \dots

(Una conseqüència d'esta definició és que 0!! = 1, com un producte buit).

Llavors, per a n parell el doble factorial és:

n!! = \prod_{k = 1}^{\frac{n}{2}} (2 k) = n (n - 2) (n - 4) \dots 4 \cdot 2,

I per a n impar és:

n!! = \prod_{k = 1}^{\frac{n + 1}{2}} (2 k - 1) = n (n - 2) (n - 4) \dots 3 \cdot 1 .

Per eixemple, 9!!=9·7·5·3·1=945.

El doble factorial no deu confondre's en la funció factorial iterada dos voltes, que és escrita com (n!)! i no n!! La seqüència dels dobles factorials para els pares n=0, 2, 4, 6, 8,... escomença aixina:

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (seqüència A000165 en l'OEIS)

La seqüència dels dobles factorials per als impars n=1, 3, 5, 7, 9,... escomença aixina:

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (seqüència A001147 en el OEIS)

Merserve (1948), (possiblement la més antiga publicació que usa la notació del doble factorial) formula que el doble factorial va ser introduït originalment per a simplificar l'expressió d'algunes integrals trigonométricas sorgint en la derivació del producte de Wallis. Els factorials dobles també sorgixen en expressar el volum d'una hiperesfera i tenen moltes aplicacions en les combinatòria enumerativa. Els factorials dobles apareixen en la distribució t de Student (1908), de la qual Gosset va pensar que no s'usara la notació de la doble exclamació.

El terme factorial impar és utilisat en ocasions per a denominar el doble factorial d'un número impar.^[2]

Relació en el factorial

A causa de que el doble factorial solament involucra la mitat de factors que un factorial ordinal, el seu valor no és major que la raïl quadrada del factorial n!, i és molt menor que el factorial iterado (n!)!.

Per a un sancer positiu parell $n = 2 k$ , $k \geq 0$ , el doble factorial s'expressaria com:^[1]

n!! = 2^{k} k!

Per a un sancer positiu impar $n = 2 k - 1$ , $k \geq 1$ , el doble factorial s'expressaria com:

n!! = (2 k - 1)!! = \frac{(2 k)!}{(2 k)!!} = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!} .

En esta expressió, el primer denominador és igual a (2k)!! i cancela els factors pares indeseados del numerador.

Per a un sancer positiu impar n=2k – 1, k≥1, el factorial doble s'expressaria en térmens de $k$ -permutació de $2 k$ com:

(2 k - 1)!! = \frac{_{2 k} P_{k}}{2^{k}} = \frac{(2 k)^{\underline{k}}}{2^{k}} .

Aplicacions en la combinatoria enumerativa

Els dobles factorials estan motivats pel fet de que ocorren freqüentment en la combinatoria enumerativa i atres ajusts. Per eixemple, n!! per a valors impars de n conta en:

Apareamientos perfectes en el grafo complet K_n _{+ 1} per a n impar. De tal grafo, qualsevol vèrtiç v té n possibles vèrtiços als que es pot unir, i una volta feta esta elecció sorgix el problema restant tracta de seleccionar un apareament perfecte en el grafo complet en dos vèrtiços menys.

Per eixemple, un grafo complet en quatre vèrtiços a, b, c, i d tenen tres apareamientos perfectes: ab i cd, ac i bd, i ad i bc. Els apareamientos perfectes poden ser descrits de molts atres modos equivalents, incloent les involució sense punts fixos en un conjunt de n + 1 elements (permutació en les quals un cicle és una parella)^[1] o diagrames de cordes (conjunts de cordes d'un conjunt de n + 1 punts espayats igualment en un círcul en cual cada punt és el punt final d'exactament una corda, també cridat diagrames de Brauer).^[3]

El número de coincidències en gràfics complets, sense llimitar les coincidències a ser perfectes, es donen en lloc pels números de teléfon, que es poden expressar com una suma que implica dobles factorials. El número de apareamientos en grafos complets, sense obligar als apareamientos a ser perfectes, es donen, en canvi, pels números de teléfon, que es poden expressar com una suma que involucra factorials dobles.

Permutació de Stirling, permutació del multiconjunto de números 1, 1, 2, 2, …, k, k en els quals cada parell de números iguals està separat solament per números més grans, en els que k=[n+1]/2. Les dos còpies de k deuen ser adjacents; eliminant-les de la permutació, deixen una permutació en la que el major element és k – 1, en n posiciones en les que el parell adjacent de k valores pot ser colocat. Des d'esta construcció recursiva, una prova de que les permutació de Stirling es conten per dobles permutació se seguix per inducció. Alternativament, en lloc de la restricció de que els valors entre un parell deuen ser majors que el parell, un pot considerar les permutació d'este multiconjunto en el qual les primeres còpies de cada parell apareix en un orde salteado; tal i com una permutació definix un apareament en les 2k posiciones de la permutació, aixina que el número de permutació deu ser contat per dobles permutació una atra volta.

Montículs: arbres en k + 1 nodos ordenats 0, 1, 2, …, k, de modo que la raïl de l'arbre té orde 0, cada nodo té un ordan major que el del seu parent, i cada descendent té un orde fix. Un recorregut de Euler per l'arbre (en les vores doblades) dona lloc a una permutació de Stirling, i cada permutació de Stirling representa un arbre d'eixa manera.^[1]

Els arbres binarios sense raïls en [n+5]/2 fulls ordenats. Cada arbre està format per un arbre en un full menys, per la subdivisió d'una de les n fulls de l'arbre i fent al nou vèrtiç parent d'un nou full. Els arbres binarios en raïls en [n+3]/2 fulls ordenats. Este cas és semblat al que no té raïls, pero el número de cantons que poden ser subdivididas és parell, i ademés de subdividir un cantó és possible afegir un nodo a l'arbre en un full menys agregant una nova raïl que els seus dos fills són l'arbre més chicotet i el nou full.^[1]

Callen (2009) i Dona-li y Moon (1993) enumeren molts objectes adicionals en la mateixa seqüència de reconte, incloent “paraules trapezoidals” (numerals en un sistema de raïl mixta en les raïls impars en aument), camins de Dyck ordenats per altura, arbres ordenats per altura, “camins sobreixents”, i certs vectores que descriuen els fulls en el menor orde descendents de cada nodo en un arbre binario en raïls. Per a proves biyectivas de que alguns d'estos objectes són equipotentes, vore Rubey (2008) i Marsh y Martin (2011).

Els factorials dobles parells donen els números dels elements dels grups hiperoctaédricos (simetria d'un hipercubo).

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 (2009).
↑ I.g., in and
↑ Kitaev (2011). Patterns in Permutations and Words, Springer, p. 96. ISBN 9783642173332.

Este artícul conté una traducció derivada de «Doble factorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[callen-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 (2009).

[2] I.g., in and

[3] Kitaev (2011). Patterns in Permutations and Words, Springer, p. 96. ISBN 9783642173332.

[1]

[2]

[3]