Producte buit

En matemàtiques, un producte buit és el resultat de multiplicar entre sí cap número. Per convenció, el seu valor numèric és 1, l'element neutre de la multiplicació, de la mateixa manera que la suma buida, que és el resultat de sumar entre sí cap número, val zero, l'element neutre de la suma.

El producte buit s'utilisa en matemàtiques discretes, àlgebra, l'estudi de series de potències i en programació.

Producte aritmètic de zero factors

Eixemples

Dos eixemples freqüents de producte buit són a⁰ = 1 (qualsevol número elevat a la potència zero val un) i 0! = 1 (el factorial de zero val un).

També es pot parlar de producte buit en el cas en que l'índex inferior d'un productorio és major que l'índex superior, per eixemple,

$\prod _{i=2}^1{x}_i$

Com no existix cap índex que satisfaça abdós condicions, és dir, l'interval $[2,1]$ és buit, el productorio no consta de cap factor i per tant val un.

Es poden trobar més eixemples de producte buit en els següents artículs: demostració de que i és irracional, factorial, factor primer, números de Stirling, diferència finita, paradoxa del natalici, símbol de Pochhammer, teorema del binomi, teorema de König, teorema fonamental de l'aritmètica.

Justificació intuïtiva

Imagine una calculadora que només pot multiplicar. Dispon, ademés dels botons corresponents a les sifres del 0 al 9, d'atres dos botons: "INTRO" i "BORRAR". Es pretén que, si introduïx la seqüència "BORRAR - 7 - INTRO - 3 - INTRO - 4 - INTRO", el resultat llegit en pantalla siga "84", perque 7×3×4=84. En general, es pretén que: la calculadora mostre un número just en acabant de que l'usuari pulse la tecla "BORRAR". si hi ha un número en pantalla i l'usuari introduïx un atre número, es mostre el producte. quan es pulse la tecla "BORRAR" i despuix s'introduïxca una seqüència de números, la calculadora mostre el seu producte. Llavors, el valor inicial despuix de pulsar la tecla "BORRAR" deu ser "1". Per tant, el producte de zero factors val 1.

Logaritmos

La definició d'un producte buit es pot derivar de la de la suma buida:

La suma de dos logaritmos és igual al logaritmo del producte dels seus operants, és dir, per a qualsevol base b>0 es té:

${\log }_{b}n+{\log }_{b}m={\log }_{b}nm$

i

$b^{{\log }_{b}n+{\log }_{b}m}=nm$

i de forma més general

$\prod _i{x}_i=b^{\sum _i{\log }_b{x}_i}$

és dir, que el producte de tots els elements d'un conjunt és b elevat a la suma dels logaritmos dels elements d'eixe conjunt.

Usant esta propietat com a definició i estenent-la al producte buit, el membre dret d'esta equació val b⁰ per al conjunt buit, perque la suma buida val 0 per definició, i per tant el producte buit deu valdre 1.

Zero elevat a la potència zero

En teoria de conjunts i combinatòria, el número cardinal n^m és el tamany del conjunt de funcions que va d'un conjunt de tamany m a un conjunt de tamany n. Si m és positiu i n és zero, llavors no hi ha tals funcions perque no existixen elements del segon conjunt que corresponguen a elements del primer conjunt. Llavors, 0^m = 0 quan m és positiu. No obstant, si els dos conjunts són buits (el seu cardinal és 0), llavors hi ha una única funció, la funció buida, que complix la condició. Per este motiu, en estos camps de la matemàtica és freqüent definir 0⁰ com 1 quan representa un producte buit.