Distribució t de Student

Archiu:Distribución T 05.svg

Distribució t de Student

En provabilitat i estadística, la distribució $t$ (de Student) és una distribució de provabilitat que sorgix del problema d'estimar la mija d'una població normalment distribuïda quan el tamany de la mostra és chicotet i la desviació estàndar poblacional és desconeguda.

Va ser desenrollada per William Sealy Gosset baix l'seudònim «Student».

Apareix de manera natural en realisar la prova t de Student per a la determinació de les diferències entre dos varianza mostrals i per a la construcció del interval de confiança per a la diferència entre les parts de dos poblacions quan es desconeix la desviació típica d'una població i esta deu ser estimada a partir de les senyes d'una mostra.

Història i etimologia

Archiu:William Sealy Gosset.jpg

L'estadístic William Sealy Gosset, conegut com «Student»

La distribució de Student va ser descrita en l'any 1908 per William Sealy Gosset.

En estadística, la distribució t va ser derivada per primera volta com distribució posterior en 1876 per Helmert i Lüroth. La distribució t també va aparéixer en una forma més general com a distribució Pearson Tipo IV en l'artícul de Karl Pearson de 1895.

En la lliteratura en llengua anglesa, la distribució pren el seu nom de l'artícul de William Sealy Gosset de 1908 en Biometrika baix l'seudònim de «Student». Una versió de l'orige de l'seudònim és que el empleador de Gosset preferia que el personal utilisara seudònim en publicar artículs científics en lloc del seu nom real, o prohibia totalment la publicació d'artículs, per lo que va utilisar el nom de «Estudiant» per a ocultar la seua identitat. Una atra versió és que Guinness no volia que els seus competidors saberen que utilisaven la prova t per a determinar la calitat de la matèria primera.

Gosset va treballar en la fàbrica de cervesa Guinness en Dublín, Irlanda, i es va interessar pels problemes de les mostres menudes, per eixemple, les propietats químiques de l'ordi, a on el tamany de les mostres podia ser de només 3. L'artícul de Gosset es referix a la distribució com la «distribució de freqüències de les desviacions típiques de mostres extretes d'una població normal». Es va fer molt coneguda gràcies al treball de Ronald Fisher, que va cridar a la distribució Distribució de Student i va representar el valor de la prova en la lletra t.

Distribució t de Student a partir d'una mostra aleatòria

Siga $X_1,\dots ,X_n$ variables aleatòries independents distribuïdes $N(\mu ,{\sigma }^2)$, açò és, $X_1,\dots ,X_n$ és una mostra aleatòria de tamany $n$ provinent d'una població en distribució normal en mija $\mu$ i varianza ${\sigma }^2$.

Sean

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$

la mija mostral i

$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\bar{X})}^2$

la varianza mostral. Llavors, la variable aleatòria

$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$

seguix una distribució normal estàndar (és dir, una distribució normal en mija 0 i varianza 1) i la variable aleatòria

$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$

a on $\sigma$ ha segut substituït per $S$, té una distribució $t$ de student en $n-1$ graus de llibertat.

Definició

Notació

Sean $X$ una variable aleatòria contínua i $v>0$, si $X$ té una distribució $t$ en $v$ graus de llibertat llavors escriurem $X\sim t_v$ o $X\sim t(v)$.

Funció de densitat

La distribució $t$-student té com funció de densitat

$f_X(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{v\pi }\Gamma \left(\frac{v}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{v})}^{-\frac{v+1}{2}}$

per a $x\in ℝ$, a on $v$ denota els graus de llibertat i $\Gamma$ és la funció gamma.

L'expressió anterior també sol escriure's com

$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{v}\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{v}{2})}{(1+\frac{x^2}{v})}^{-\frac{v+1}{2}}$

a on $\mathrm{B}$ és la funció beta.

En particular, per a valors sancers de $v$ es té que

per a $v>1$ parell

$\frac{\Gamma \left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{v\pi }\Gamma \left(\frac{v}{2}\right)}=\frac{(v-1)(v-3)\cdots 5\cdot 3}{2\sqrt{v}(v-2)(v-4)\cdots 4\cdot 2}$

per a $v>1$ impar

$\frac{\Gamma \left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{v\pi }\Gamma \left(\frac{v}{2}\right)}=\frac{(v-1)(v-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi \sqrt{v}(v-2)(v-4)\cdots 5\cdot 3}$

Funció de distribució

La funció de distribució pot ser escrita en térmens de $I$, la funció beta incompleta.

Per a $x>0$

$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)du=1-\frac{1}{2}{I}_{x(t)}(\frac{v}{2},\frac{1}{2})$

a on

$x(t)=\frac{v}{t^2+v}$

Una fòrmula alternativa, vàlida per a $x^2<v$ és

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)du=\frac{1}{2}+x\frac{\Gamma \left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi v}\Gamma \left(\frac{v}{2}\right)}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{v+1}{2};\frac{3}{2};-\frac{x^2}{v})$

a on ${}_2{F}_1$ és un cas particular de la funció hipergeométrica.

Casos particulars

Certs valors de $v$ donen una forma especial a la funció de densitat i de distribució.

• $v=1$

Funció de densitat:

$f_X(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$

Funció de distribució:

$F_X(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (x)$

Vore Distribució de Cauchy.

• $v=2$

Funció de densitat:

$f_X(x)=\frac{1}{2\sqrt{2}{(1+\frac{x^2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Funció de distribució:

$F_X(x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{x^2}{2}}}$

• $v=3$

Funció de densitat:

$f_X(x)=\frac{2}{\pi \sqrt{3}{(1+\frac{x^2}{3})}^2}$

Funció de distribució:

$F_X(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }[\frac{x}{\sqrt{3}(1+\frac{x^2}{3})}+\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)]$

• $v=\mathrm{\infty }$

Funció de densitat:

$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

Vore Distribució normal.

Funció de distribució:

$F_X(x)=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)]$

Vore Funció error.

Propietats

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim t_v$ llavors $X$ satisfà algunes propietats.

Media

La mija de $X$ per a valors $v>1$ és

$\mathrm{E}[X]=0$

Varianza

La varianza de $X$ per a valors $v>2$ és

$\mathrm{Var}(X)=\frac{v}{v-2}$

Curtosis

La curtosis de $X$ per a valors $v>4$ és

$\frac{6}{v-4}$

Caracterisació

La distribució $t$ de Student en $v$ graus de llibertat pot definir-se com la distribució de la variable aleatòria $T$ definida per:

$T:=\frac{Z}{\sqrt{\frac{X}{v}}}\sim t_v$

a on

• $Z\sim N(0,1)$, és dir, $Z$ és una variable aleatòria en distribució normal estàndart (distribució normal en mija 0 i varianza 1).
• $X\sim {\chi }_v^2$, és dir $X$ és una variable aleatòria que seguix una distribució chi-quadrada en $v$ graus de llibertat.
• $Z$ i $X$ són variables aleatòries independents.

Per a una constant $\mu$ no nula, el cocient

$(Z+\mu )\sqrt{\frac{v}{X}}$

és una variable aleatòria que seguix la distribució no central $t$ de Student en paràmetro de no-centralidad $\mu$.

Intervals de confiança per a mostres de la distribució normal

Interval per a la mija quan σ² és desconeguda

Siguen $X_1,\dots ,X_n$ una mostra aleatòria provinent d'una població en distribució $N(\mu ,{\sigma }^2)$ a on $\mu$ i $\sigma$ són desconeguts.

Es té que

$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

i

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$

són independents llavors el cocient

$\frac{\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}{n-1}}}\sim t_{n-1}$

açò és

$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$

Siga $t_{n-1,1-\alpha /2}\in ℝ$ tal que

$\mathrm{P}[Y\le t_{n-1,1-\alpha /2}]=1-\frac{\alpha }{2}$

sent $Y\sim t_{n-1}$ llavors

$\begin{array}{cc}& \mathrm{P}[-t_{n-1,1-\alpha /2}\le \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\le t_{n-1,1-\alpha /2}]=1-\alpha \\ & \mathrm{P}[-t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\le \bar{X}-\mu \le t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}]=1-\alpha \\ & \mathrm{P}[-\bar{X}-t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\le -\mu \le -\bar{X}+t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}]=1-\alpha \\ & \mathrm{P}[\bar{X}-t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{X}+t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}]=1-\alpha \\ \end{array}$

per lo tant un interval de $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$ de confiança per a $\mu$ quan ${\sigma }^2$ és desconeguda és

$(\bar{X}-t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}})$

Distribució t de Student generalisada

En térmens del paràmetro d'escala σ̂

La distribució $t$ de Student pot generalisar-se a 3 paràmetros, introduint un parámero locacional $\hat{\mu }$ i un paràmetro d'escala $\hat{\sigma }$ per mig de la relació

$X=\hat{\mu }+\hat{\sigma }T$

o

$T=\frac{X-\hat{\mu }}{\hat{\sigma }}$

açò significa que $\frac{x-\hat{\mu }}{\hat{\sigma }}$ té la distribució clàssica $t$ de Student en $v$ graus de llibertat.

La resultant distribució $t$ de Student no estandardisada té per funció de densitat:

$p(x|\nu ,\hat{\mu },\hat{\sigma })=\frac{\Gamma (\frac{\nu +1}{2})}{\Gamma (\frac{\nu }{2})\sqrt{\pi \nu }\hat{\sigma }}{(1+\frac{1}{\nu }{\left(\frac{x-\hat{\mu }}{\hat{\sigma }}\right)}^2)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

a on $\hat{\sigma }$ no correspon a la desviació estàndar, açò és, no és la desviació estàndar de la distribució escalada $t$, simplement és paràmetro d'escala de la distribució.

La distribució pot ser escrita en térmens de ${\hat{\sigma }}^2$, el quadrat del paràmetro d'escala:

$p(x|\nu ,\hat{\mu },{\hat{\sigma }}^2)=\frac{\Gamma (\frac{\nu +1}{2})}{\Gamma (\frac{\nu }{2})\sqrt{\pi \nu {\hat{\sigma }}^2}}{(1+\frac{1}{\nu }\frac{(x-\hat{\mu }{)}^2}{{\hat{\sigma }}^2})}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

Atres propietats d'esta versió de la distribució són:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{E}[X]=\hat{\mu }\text{para }\nu >1,\\ & \mathrm{Var}(X)={\hat{\sigma }}^2\frac{\nu }{\nu -2}\text{para }\nu >2,\\ & \mathrm{Moda}(X)=\hat{\mu }.\end{array}$

En térmens del paràmetro invers d'escala λ

Una parametrización alterna està en térmens del paràmetro invers d'escala $\lambda$ definit per mig de la relació $\lambda =\frac{1}{{\hat{\sigma }}^2}$. La funció de densitat està donada per:

$p(x|\nu ,\hat{\mu },\lambda )=\frac{\Gamma (\frac{\nu +1}{2})}{\Gamma (\frac{\nu }{2})}{\left(\frac{\lambda }{\pi v}\right)}^{\frac{1}{2}}{(1+\frac{\lambda (x-\hat{\mu }{)}^2}{v})}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

Atres propietats d'esta versió de la distribució són:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{E}[X]=\hat{\mu }\text{para }\nu >1,\\ & \mathrm{Var}(X)=\frac{1}{\lambda }\frac{\nu }{\nu -2}\text{para }\nu >2,\\ & \mathrm{Moda}(X)=\hat{\mu }.\end{array}$

Distribucions relacionades

• Si $X\sim t_v$ llavors $X^2\sim {\mathrm{F}}_{1,v}$ a on ${\mathrm{F}}_{1,v}$ denota la distribució F en $1$ i $v$ graus de llibertat.

Vore també

• Distribució F
• Distribució χ²
• Teorema de Cochran

Enllaços externs

• Taula de distribució de T de Student
• Prova t de Student en la UPTC de Colòmbia
• Taula distribució t de Student
• Distribució t-Student: Punts percentuals per a provabilitat superior
• Probability, Statistics and Estimation en anglés. Primers Studentes en la pàgina 112.
• [1] Calcular la provabilitat d'una distribució t-Student en R (llenguage de programació)