Interval de confiança

Les llínees verticals representen 50 construccions diferents d'intervals de confiança per a l'estimació del valor μ.

En estadística, es diu interval de confiança a un interval dins del com s'estima, en un determinat nivell de confiança, que estarà el valor de cert paràmetro poblacional desconegut. Formalment, els extrems del interval, es calculen a partir de les senyes d'una mostra corresponent a un estimador del paràmetro poblacional. El nivell de confiança representa el percentage d'intervals que presos de 100 mostres independents distintes contenen en realitat el valor desconegut. En estes circumstàncies, $\alpha$ és el cridat error aleatori o nivell de significancia, açò és, el número d'intervals sobre 100 que no contenen el valor.

El nivell de confiança i l'amplitut de l'interval varien conjuntament, de manera que un interval més ampli tindrà més provabilitat d'encert (major nivell de confiança), mentres que per a un interval més menut, que oferix una estimació més precisa, aumenta la seua provabilitat d'error.

Per a la construcció d'un determinat interval de confiança és necessari conéixer la distribució teòrica que seguix el paràmetro a estimar, θ. És habitual que el paràmetro present una distribució normal. També poden construir-se intervals de confiança en la desigualtat de Chebyshev.

Definició

Un interval de $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$ de confiança per a l'estimació d'un paràmetro poblacional $\theta$ que seguix una determinada distribució de provabilitat, és una expressió del tipo $[{\theta }_1,{\theta }_2]$ tal que $\mathrm{P}[{\theta }_1\le \theta \le {\theta }_2]=1-\alpha$ a on $\mathrm{P}$ és la funció de distribució de provabilitat de $\theta$.

Eixemples

Interval de confiança de la mija d'una població

D'una població en mija $\mu$ i desviació típica $\sigma$ es poden prendre mostres de $n$ elements. Cada una d'estes mostres té a la seua volta una mija. Es pot demostrar que la mija de totes les miges mostrals coincidix en la mija poblacional: ${\mu }_{\overline{x}}=\mu$

Pero ademés, si el tamany de les mostres és suficientment gran, o la distribució poblacional és normal, la distribució de miges mostrals és, pràcticament, una distribució normal (o gaussiana) en mija $\mu$ i una desviació típica donada per la següent expressió

${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

açò es representa com

$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Si estandardisem, se seguix que

$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$

En una distribució $Z\sim N(0,1)$ pot calcular-se fàcilment un interval dins del com caiga un determinat percentage de les observacions, açò és, és senzill trobar $z_1$ i $z_2$ tals que $\mathrm{P}[z_1\le Z\le z_2]=1-\alpha$ a on $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$ és el percentage desijat (vore l'us de les taules en una distribució normal).

En esta distribució normal de miges es pot calcular l'interval de confiança a on es trobarà la mija poblacional si solament es coneix una mija mostral ($\overline{x}$), en una confiança determinada. Habitualment es manegen valors de confiança del 95 i del 99 per cent. A este valor se li cridarà $1-\alpha$ (degut a que $\alpha$ és l'error que es cometrà, un terme opost).

Per a això es necessita calcular el punt $X_{\alpha /2}$ o, millor dit, la seua versió estandardisada $Z_{\alpha /2}$ o valor crític— junt en el seu "opost en la distribució" $X_{-\alpha /2}$. Estos punts delimiten la provabilitat per a l'interval, com es mostra en la següent image:

Dit punt és el número tal que:

$\mathrm{P}[\overline{x}\ge X_{\alpha /2}]=\mathrm{P}[z\ge z_{\alpha /2}]=\alpha /2$

I en la versió estandardisada es complix que:

$z_{-\alpha /2}=-z_{\alpha /2}$

Aixina:

$\mathrm{P}[\overline{x}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{x}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]=1-\alpha$

De lo que s'obtindrà l'interval de confiança

$(\overline{x}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

Observe's que l'interval de confiança ve dau per la mija mostral $(\overline{x})$ ± el producte del valor crític $Z_{\alpha /2}$ pel error estàndar $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.

Si no es coneix i n és gran (habitualment es pren n ≥ 30):

Aproximacions per al valor $z_{\alpha /2}$ per als nivells de confiança estàndar són 1,96 per a $1-\alpha =95\mathrm{\%}$ i 2,576 per a $1-\alpha =99\mathrm{\%}$.

Interval de confiança d'una proporció

L'interval de confiança per a estimar una proporció $p$, coneguda com una proporció mostral $p_n$ d'una mostra de tamany $n$, a un nivell de el $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$ de confiança és:

$(p_n-z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p_n(1-p_n)}{n}},p_n+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p_n(1-p_n)}{n}})$

En la demostració d'estes fòrmules estan involucrats el Teorema Central del Llímit i l'aproximació d'una binomial per una normal.

Eixemple pràctic

Una llínea de montage de fàbrica ompli les tasses de gelat fins als 250 g +/- 2.5 g desijats.

Una màquina plena tasses en gelat, i se supon que està ajustada per a abocar la cantitat de 250 g. Com la màquina no pot omplir cada tassa en exactament 250 g, el contingut que s'afig a cada tassa individual presenta certa variació i se li assigna una variable aleatòria X. S'assumix que esta variació s'ajusta a una distribució normal d'al voltant de la cantitat promig desijada de 250 g, en una desviació estàndar de 2.5 g.

Per a determinar si la màquina està adequadament calibrada, es pren una mostra aleatòria de n = 25 tasses de gelat per a pesar-les. La medició resultant és X₁, ..., X₂₅, una mostra aleatòria procedent de  X.

Para μ, és suficient en donar una estimació. l'estimador adequat és la mija mostral:

$\hat{\mu }=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$

La mostra senyala els pesos reals x₁, ..., x₂₅, en mija:

$\overline{x}=\frac{1}{25}\sum _{i=1}^{25}{x}_i=250.2\text{gramos}.$

En prendre una atra mostra de 25 tasses, és esperable, d'igual manera, que la massa present valors com 250.4 o 251.1 grams. Un valor mig mostral de 280 grams en canvi, seria extremadament excepcional si el contingut mig de les tasses està en la pràctica prop de 250 grams. Hi ha un interval entorn al valor observat de 250.2 grams de la mija mostral, per al que si la mija de la població completa efectivament pren un valor en este ranc, les senyes observades no podrien ser considerats particularment inusuals. Tal interval es denomina interval de confiança per al paràmetro μ. ¿Cóm es calcula tal interval? Els extrems de l'interval deuen calcular-se a partir de la mostra per a que resulten funcions estadístiques de la mostra X₁, ..., X₂₅ i d'esta manera són variables aleatòries a la seua volta.

En este cas, es determinaran els extrems considerant la mija mostral X que com prové d'una distribució normal està també normalment distribuïda en la mateixa esperança μ, pero en un error estàndar de:

$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{2.5\text{g}}{\sqrt{25}}=0.5\text{gramos}$

Per estandardisació, s'obté una variable aleatòria:

$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-\mu }{0.5}$

dependent del paràmetro μ que deu ser estimat, pero en una distribució normal estàndart independent del paràmetro μ. Per lo tant, és possible trobar números −z i z, independents de μ, entre els quals està Z en provabilitat 1 − α, una mida de cuán confiats volem estar.

Prenem 1 − α = 0.95, per eixemple. Aixina, tenim:

$P(-z\le Z\le z)=1-\alpha =\mathrm{0.95.}$

El número z prové d'una funció de distribució acumulada, en este cas la Funció de distribució normal acumulativa:

$\begin{array}{cc}\Phi (z)& =P(Z\le z)=1-\frac{\alpha }{2}=0.975,\\ z& ={\Phi }^{-1}(\Phi (z))={\Phi }^{-1}(0.975)=1.96,\end{array}$

i s'obté:

$\begin{array}{cc}0.95& =1-\alpha =P(-z\le Z\le z)=P(-1.96\le \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le 1.96)\\ & =P(\overline{X}-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{X}+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\end{array}.$

En atres paraules, el llímit inferior d'un interval de confiança del 95% és:

$\text{Extremo inferior}=\overline{X}-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}},$

i el superior de tal interval és:

$\text{Extremo superior}=\overline{X}+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$

En els valors d'este eixemple, l'interval de confiança és:

$\begin{array}{cc}0.95& =P(\overline{X}-1.96\times 0.5\le \mu \le \overline{X}+1.96\times 0.5)\\ & =P(\overline{X}-0.98\le \mu \le \overline{X}+0.98).\end{array}$

Açò podria interpretar-se com: en provabilitat del 0.95 trobem un interval de confiança en el que es complix que el paràmetro μ està entre els llímits estocàstics

$\overline{X}-0.98$

i

$\overline{X}+\mathrm{0.98.}$

Açò no implica que hi ha una provabilitat de 0.95 de trobar el paràmetro μ en l'interval obtingut usant el valor efectivament establit per al valor mig de la mostra.

$(\overline{x}-0.98,\overline{x}+0.98).$

Cada volta que es repetixquen les medicions, donaran un atre valor per a la mija X de la mostra. En el 95% dels casos μ estarà entre els llímits calculats a partir de la mija, pero en el 5% dels casos no ho estarà. L'interval de confiança efectiu es calcula duent els valors de masses de gelat mides a la fòrmula. Este interval de confiança de 0.95 resulta:

$(\overline{x}-0.98;\overline{x}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).$

El segment vertical representa 50 realisacions d'un interval de confiança para μ.

En atres paraules, l'interval de confiança del 95% està entre el llímit inferior de 249.22 g i el superior de 251.18 g.

Com el valor desijat 250 de μ està dins de l'interval de confiança resultant no hi ha raó per a creure que la màquina no està correctament calibrada.

L'interval calculat té llímits fixos, a on μ podria o no estar acotat. Aixina, este event té provabilitat 0 o 1. No és possible dir: "en provabilitat (1 − α) el paràmetro μ està en l'interval de confiança." Només sabem que per repetició en 100(1 − α) % dels casos, μ estarà en l'interval calculat. En 100α% dels casos, no obstant açò no succeïx. Desafortunadament, no es coneix en quins dels casos açò succeïx. Per això es pot dir: "en nivell de confiança 100(1 − α) %, μ  està en l'interval de confiança."

L'error màxim es calcula com 0.98 ya que és la diferencia ent el valor en que es conserva la confiança dins dels llímits superior i inferior.

La figura ilustra 50 realisacions d'un interval de confiança per a una població mija donada μ. Si aleatoriamente se selecciona una realisació, la provabilitat és del 95% de finalment haver elegit un interval que continga el paràmetro; no obstant, podria donar-se la desafortunada situació d'haver elegit l'errònea.

Vore també

• Estimació estadística
• Tamany de la mostra
• Anàlisis discriminante

Referències

Bibliografia

• Fisher, R. A. (1956). Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh (p. 32).
• Freund, J. E. (1962). Mathematical Statistics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ (pp. 227-228).
• Hacking, I. (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge.
• Keeping, E. S. (1962). Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
• Kiefer, J. (1977). Journal of the American Statistical Association, 72, 789-827.
• Neyman, J. (1937). Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333-380.
• Robinson, G. K. (1975). Biometrika, 62, 151-161.
• Sar, J. H. (1984). Biostatistical Analysis. Prentice Hall International, New Jersey. pp. 43-45.