Funció hipergeométrica

(El terme «funció hipergeométrica» a voltes es referix a la funció hipergeométrica generalisada. Per a atres funcions hipergeométricas, anar a la secció Vore també)

Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Gràfic de la funció hipergeométrica 2F1(a,b; c; z) en a=2 i b=3 i c=4 en el pla complex de -2-2i a 2+2i en colors creats en la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

En matemàtiques, la funció hipergeométrica gaussiana o ordinària ₂F₁ (a,b;c;z) és una funció especial representada per la série hipergeométrica, que inclou moltes atres funcions com a casos especials o llímit. És una solució d'una equació diferencial ordinària (EDO) llineal de segon orde. Cada EDO llineal de segon orde en tres punts singulars regulars pot transformar-se en esta equació.

Per a obtindre llistes sistemàtiques d'alguns dels molts mils d'identitats publicades que involucren la funció hipergeométrica, consulten-se els treballs de referència de Erdélyi et al. (1953) i Olde Daalhuis (2010). No hi ha un sistema conegut per a organisar totes les identitats; de fet, no es dispon d'un algoritme que puga generar totes les identitats; encara que existixen varis algoritmes diferents que generen distintes séries d'identitats. La teoria del descobriment algorítmic d'identitats seguix sent un tema d'investigació actiu.

Història

El terme serie hipergeométrica va ser utilisat per primera volta per John Wallis en el seu llibre de 1655 Arithmetica Infinitorum.

Les séries hipergeométricas varen ser estudiades per Leonhard Euler, pero «el primer tractament sistemàtic complet» va ser proporcionat per Carl Friedrich Gauss (1813).

Els estudis en el XIX varen incloure els de Ernst Kummer (1836), aixina com la caracterisació fonamental de la funció hipergeométrica per mig de l'equació diferencial que satisfà, elaborada per Bernhard Riemann (1857).

Riemann va demostrar que l'equació diferencial de segon orde per a ₂F₁ (z), examinada en el pla complex, podria caracterisar-se (en l'esfera de Riemann) per les seues tres singularitats regulars.

Els casos a on les solucions són funció algebraicas varen ser trobats per Hermann Amandus Schwarz (llista de Schwarz).

La série hipergeométrica

La funció hipergeométrica està definida per a $| z | < 1$ per la série de potències

_{2} F_{1} (a, b; c; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n}} \frac{z^{n}}{n!} .

No està definida (o tendix a infinit) si c és igual a un sancer no positiu. Ací (q) _n és el símbol de Pochhammer (ascendent), que es definix per:

(q)_{n} = {\begin{matrix} 1 & n = 0 \\ q (q + 1) \dots (q + n - 1) & n > 0 \end{matrix}

La série té un número finito de térmens si a o b és un sancer no positiu, en el cas del qual la funció es reduïx a un polinomi:

_{2} F_{1} (- m, b; c; z) = \sum_{n = 0}^{m} (- 1)^{n} (\binom{m}{n}) \frac{(b)_{n}}{(c)_{n}} z^{n} .

Per a arguments complexos z en |z| ≥ 1 pot ser analíticamente estesa en qualsevol ruta en el pla complex que evite els punts de forcall 1 i infinit.

Com $c \to - m$ , a on $m$ és un sancer no negatiu, $2 F 1 (z) \to \infty$ , pero si es dividix per $Γ(c)$ , s'obté el llímit:

\lim_{c \to - m} \frac{_{2} F_{1} (a, b; c; z)}{Γ (c)} = \frac{(a)_{m + 1} (b)_{m + 1}}{(m + 1)!} z^{m + 1}_{2} F_{1} (a + m + 1, b + m + 1; m + 2; z)

$2 F 1 (z)$ és el tipo més habitual entre les séries hipergeométricas generalisades $p F q$ , i a sovint es designa simplement com $F (z)$ .

Vore també

Séries hipergeométricas bàsiques, a on la relació de térmens és una funció periòdica de l'índex
Séries hipergeométricas generalisades _pF_q a on la relació de térmens és una funció racional de l'índex
Série geomètrica, a on la relació de térmens és una constant

Distribució hipergeométrica, una distribució de provabilitat discreta

Referències

Bibliografia

Andrews, George E.; Askey, {{{nom2}}}; Roy, {{{nom3}}} (1999). Special functions, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6.
Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Séries, Cambridge University Press.
Beukers, Frits (2002), Gauss 'funció hipergeométrica' '. (notes de la conferència repassant conceptes bàsics, aixina com mapes de triànguls i monodromía)
Erdélyi, Arthur; Magnus, {{{nom2}}}; Oberhettinger, {{{nom3}}}; Tricomi, {{{nom4}}} (1953). Higher transcendental functions, New York – Toronto – London: McGraw–Hill Book Company, Inc.. ISBN 978-0-89874-206-0.
Gasper, George i Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Séries, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
(1813).Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores.Göttingen:2
Gelfand, I. M.; Gindikin, {{{nom2}}}; Graev, {{{nom3}}} (2003). Selected topics in integral geometry, Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2932-5.
(1982).SIAM Journal on Mathematical Analysis.13(2)

295–308.ISSN 0036-1410.doi:10.1137/0513021.

(1881).Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure.10

3–142.Consultat el 16 d'octubre de 2008.

Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, {{{nom2}}} (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces, Sant Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (partix 1 tracta funcions hipergeométricas en grups de Lie)
Hille, Einar (1976). Ordinary differential equations in the complex domain, Dover.

Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations, Dover Publications.
Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion (en alemà), Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1.
(1995).Journal of Symbolic Computation.20(4)

399–417.ISSN 0747-7171.doi:10.1006/jsco.1995.1056.

(1836).Crelle (revista).15

39–83, 127–172.ISSN 0075-4102.

(1996).J. Comput. Appl. Math..72

293–300.

Press; Teukolsky, {{{nom2}}}; Vetterling, {{{nom3}}}; Flannery, {{{nom4}}} (2007). «Section 6.13. Hypergeometric Functions», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edició, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
(2011).Bull. Korean Math. Soc..48(1)

151–156.

(2007).Far East J. Math. Sci..27(1)

43–48.

(1857).Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.Verlag der Dieterichschen Buchhandlung.Göttingen:7

3–22. (una reimpressió d'este document es pot trobar en «All publications of Riemann».)

Slater, Lucy Joan (1960). Confluent hypergeometric functions, Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions, Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. (hi ha un llibre en rústica de 2008 en ISBN 978-0-521-09061-2)
(2005).Journal of Symbolic Computation.178

473–487.doi:10.1016/j.cam.2004.09.053.

Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc..
Whittaker, E.T.; Watson, {{{nom2}}} (1927). A Course of Modern Analysis, Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces, Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2.

Este artícul conté una traducció derivada de «Función hipergeométrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.