Extensió analítica

En anàlisis complex, que és una branca de les matemàtiques, una extensió analítica (o continuació analítica) és una tècnica per a estendre el domini de definició d'una funció analítica donada. Una extensió analítica per lo general té èxit en definir valors adicionals de la funció, per eixemple en una regió nova en la que una representació per mig de séries infinites en la que s'havia definit inicialment a la funció era divergent.

La tècnica d'extensió per passos pot no obstant trobar algunes dificultats. Estes poden ser de naturalea essencialment topològica, que conduïxen a inconsistencias (en definicions de més d'un valor). O be poden relacionar-se en la presència de singularitats matemàtiques. La situació és diferent en el cas de múltiples variables complexes, ya que en este cas les singularitats no són punts aïllats, i la seua investigació va ser una de les principals raons per a desenrollar la cohomología de fas.

Discussió preliminar

Extensió analítica del logaritmo natural (part imaginària).

Supongam que f és una funció analítica definida en un subconjunt obert O del pla complex C. Si V és un subconjunt obert de C, que conté a O, i F és una funció analítica definida en V tal que

F(z) = f(z) para tot z en O,

llavors F es denomina extensió analítica de f. En atres paraules, la restricció de F a O és la funció f en la que es va començar.

Les extensions analítiques són úniques en el següent sentit: si V és conexo i és el domini tant de F₁ com de F₂, les dos extensions analítiques de f, llavors

F₁ = F₂

en tot punt. Açò es deu a que la diferència és una funció analítica que s'anula en un conjunt obert O (el domini de f), i una funció analítica que s'anula en un obert deu anular-se en tot el seu domini (suponent que el domini és conexo) i per lo tant deu ser zero.

Per eixemple, donada una série de potències en ràdio de convergència r al voltant d'un punt a de C, es poden considerar extensions analítiques de la série de potències, o siga funcions analítiques F que es troben definides en conjunts més amplis que el disc obert de ràdio r en a, en símbols

{z : |z − a| < r},

i coincidix en la série de potències en dit conjunt. El número r és màxim en el sentit en que sempre existirà un número complejo z en

|z − a| = r

tal que no es puga definir en z una extensió analítica de la série. Per lo tant existix una llimitació en l'extensió analítica a discs més grans en el mateix centre a. Per una atra part be pot existir una extensió analítica a alguns conjunts més grans. Això dependrà del radi de convergència quan s'expandix des de punts b distints de a; si este és major que

r − |b − a|

llavors és possible utilisar l'expansió en un disc obert, part del com es troba fòra del disc original de la definició. Si no és aixina, llavors existix una frontera natural en el círcul comprés.

Aplicacions

Una forma usual de definir funcions en anàlisis complex és primer especificant la funció en un domini menut, i després estendre-la per mig d'extensió analítica. En la pràctica, esta extensió és per lo general realisada establint primer alguna equació funcional en el domini reduït i després utilisant esta equació per a estendre el domini. Eixemples en este sentit són la funció zeta de Riemann i la funció gamma.

El concepte d'un espai cubriente va ser desenrollat inicialment per a definir un domini natural per a l'extensió analítica d'una funció analítica. L'idea de buscar la màxima extensió analítica d'una funció a la seua volta va conduir al desenroll de l'idea de la superfície de Riemann.

La série de potències definida prèviament és generalisada utilisant el concepte de germen. La teoria general d'extensió analítica i les seues generalisacions és coneguda com la teoria de fas.

Bibliografia

• Ludwig Bieberbach (1955). Analytische Fortsetzung, Springer-Verlag.