Anàlisis complex

Vore també: Múltiples variables complexes

Archiu:Color complex plot.jpg

Gràfic de la següent funció:$$f(z)=(z^2-1)(z-2-i{)}^2/(z^2+2+2i)$$La coloració representa l'argument (àngul) de la funció, mentres que la lluentor representa el mòdul.

El anàlisis complex (també cridada teoria de les funcions de variable complexa, o infrecuentemente Càlcul Complex) és la branca de les matemàtiques que en part investiga les funcions holomorfas, també cridades funcions analítiques. Una funció és holomorfa en una regió oberta del pla complex si està definida en esta regió, pren valors complexos i per últim és diferenciable en cada punt d'esta regió oberta en derivades contínues.

El que una funció complexa siga diferenciable en el sentit complex (que siga holomorfa) té conseqüències molt més fortes que la diferenciabilidad usual en els reals. Per eixemple, tota funció holomorfa es pot representar com una série de potències en algun disc obert a on la série convergix a la funció. Si la série de potències convergix en tot el pla complex es diu que la funció és sancera. Una definició relacionada en funció holomorfa és funció analítica: una funció complexa sobre els complexos que pot ser representada com una série de potències. Un resultat fonamental de l'anàlisis complex és que tota funció holomorfa també complix la definició de funció analítica, situació distinta a lo que ocorre en les funcions que únicament admeten valors reals, ya que en el cas real hi ha funcions diferencials en un punt que no són analítiques en eixe punt; esta situació constituïx una diferència crucial entre les funcions diferenciables en valors reals i les funcions diferenciables en valors complexos. En particular, les funcions holomorfas són infinitament diferenciables (puix les funcions analítiques ho són), un fet que és marcadament diferent de lo que ocorre en les funcions reals diferenciables. La majoria de les funcions elementals com lo són, per eixemple, alguns polinomis, la funció exponencial i les funcions trigonométricas, són holomorfas.

Història

Archiu:Augustin-Louis Cauchy 1901.jpg

Augustin Louis Cauchy, un dels grans precursors de l'anàlisis complex.

L'anàlisis complex és una de les branques clàssiques de les matemàtiques que té les seues raïls més allà de el XIX. Els noms destacats en el seu desenroll són Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass i molts més en el XX. Tradicionalment, l'anàlisis complex, en particular la teoria de les aplicacions conformes, té moltes aplicacions en ingenieria, pero és àmpliament usada també en teoria de números analítica. En temps moderns es va convertir en popular gràcies a l'espente de la dinàmica complexa i els dibuixos de fractalés, produïts per la iteración de funcions holomorfas, dels quals el més popular és el conjunt de Mandelbrot. Atres aplicacions importants de l'anàlisis complex són les de la teoria de cordes, una teoria de camps quàntics conforme-invariante.

Funcions complexes

Archiu:Exponentials of complex number within unit circle-2.svg

Una funció d'exponencial Aⁿ d'una variable discreta (sancera) n, similar a la progressió geomètrica

Una funció complexa és una funció de número complejos a número complejo. En atres paraules, és una funció que té un subconjunt dels número complejo com domini i els número complejo com codominio. Generalment se supon que les funcions complexes tenen un domini que conté un subconjunt obert no buit del pla complex.

Per a qualsevol funció complexa, els valors $z$ del domini i les seues imàgens $f(z)$ en l'interval poden separar-se en part real i part imaginària:

$z=x+iy\text{ y }f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$

a on $x,y,u(x,y),v(x,y)$ són tots valors reals.

En atres paraules, una funció complexa $f:ℂ\to ℂ$ pot descompondre's en

$u:{ℝ}^2\to ℝ$ i $v:{ℝ}^2\to ℝ,$

és dir, en dos funcions de valor real ($u$, $v$) de dos variables reals ($x$, $y$).

De la mateixa manera, qualsevol funció de valor complex f sobre un conjunt arbitrari X pot considerar-se (és isomorfa a) com un parell ordenat de dos funcions reals (Re f, Im f) o, alternativament, com una funció vectorial de X a ${ℝ}^2.$

Algunes propietats de les funcions de valor complex (com la continuïtat) no són més que les propietats corresponents de les funcions de valor vectorial de dos variables reals. Atres conceptes de l'anàlisis complex, com diferenciabilidad, són generalisacions directes dels conceptes anàlecs per a funcions reals, pero poden tindre propietats molt diferents. En particular, tota funció complexa diferenciable és analítica (vore l'artícul corresponent), i dos funcions diferenciables que són iguals en una veïnat d'un punt són iguals en l'intersecció del seu domini (si els dominis són conexos). Esta última propietat és la base del principi de continuació analítica que permet estendre de forma única qualsevol funció analítica real a una funció analítica complexa el domini de la qual és tot el pla complex. Moltes funcions complexes bàsiques i especials es definixen d'esta manera, incloent la funció exponencial complexa, el logaritmo complex, i les funcions trigonométricas.

Funcions holomorfas

Artícul principal → Funció holomorfa.

Archiu:Gamma abs 3D.png

Gràfica del valor absolut de la funció gamma complexa.

Les funcions complexes que són diferenciables en cada punt d'un subconjunt obert $\Omega$ del pla complex es diu que són holomorfas en $\Omega$. En el context de l'anàlisis complex, la derivada de $f$ en $z_0$ es definix com.

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$

Superficialment, esta definició és formalment anàloga a la de la derivada d'una funció real. No obstant, les derivades complexes i les funcions diferenciables es comporten de manera significativament diferent en comparació a les seues homòlogues reals. En particular, per a que existixca este llímit, el valor del cocient de la diferència deu aproximar-se al mateix número complejo, independentment de la forma en que nos aproximem a $z_0$ en el pla complex. En conseqüència, la diferenciabilidad complexa, en ser una condició molt més forta que la real, té implicacions molt més fortes que la diferenciabilidad real. Per eixemple, les funcions holomorfas són infinitament diferenciables, mentres que l'existència de la derivada n-ésima no implica necessàriament l'existència de la derivada (n + 1)-ésima per a funcions reals. Ademés, totes les funcions holomorfas satisfan la condició més forta de analiticidad, lo que significa que tota funció holomorfa es pot descriure localment, en cada punt del seu domini, per una série de potències convergent. En essència, açò significa que les funcions holomorfas en $\Omega$ poden ser aproximades arbitrariamente be per polinomis en algun veïnat de cada punt en $\Omega$. Açò contrasta fortament en les funcions reals diferenciables; hi ha funcions reals infinitament diferenciables que no són analítiques en ninguna parte.

La majoria de les funcions elementals, incloent la funció exponencial, les funcions trigonométricas, i totes les polinòmiques, esteses apropiadament a arguments complexos com a funcions $ℂ\to ℂ$, són holomorfas en tot el pla complex, lo que es denominen funcions sanceres, mentres que les funcions racionals $p/q$, a on p i q són polinomis, són holomorfas en dominis que exclouen punts a on q és zero. Tals funcions que són holomorfas en tots els llocs llevat en un conjunt de punts aïllats es coneixen com funcions meromorfas. Per una atra part, les funcions $z\mapsto \mathrm{\Re }(z)$, $z\mapsto |z|$, i $z\mapsto \overline{z}$ no són holomorfas en ninguna parte del pla complex, com pot demostrar-se per la seua incapacitat per a satisfer les condicions de Cauchy-Riemann (vore més alvance).

Una propietat important de les funcions holomorfas és la relació entre les derivades parcials dels seus components real i imaginària, coneguda com condicions de Cauchy-Riemann. Si $f:ℂ\to ℂ$, definida per $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, a on $x,y,u(x,y),v(x,y)\in ℝ$, és holomorfa en una regió $\Omega$, llavors para tot $z_0\in \Omega$,

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0)=0,\text{donde }\frac{\partial }{\partial \overline{z}}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}).$

En térmens de les parts real i imaginària de la funció, o i v, açò és equivalent al parell d'equacions $u_x=v_y$ i $u_y=-v_x$, a on els subíndexs indiquen diferenciació parcial respecte la variable en el subíndex. No obstant, les condicions de Cauchy-Riemann no caracterisen a les funcions holomorfas sense condicions adicionals de continuïtat (és dir, que una funció satisfaça les condicions de Cauchy-Riemann no la fa immediatament holomorfa, sense demanar-li condicions afegides sobre la seua continuïtat).

Les funcions holomorfas presenten algunes característiques notables. Per eixemple, teorema de Picard afirma que l'image d'una funció sancera només pot prendre tres formes possibles: $ℂ$, $ℂ\setminus \{z_0\}$, o $\{z_0\}$ per a algun $z_0\in ℂ$. En atres paraules, si dos número complejo distints $z$ i $w$ no estan en el ranc d'una funció sancera $f$, llavors $f$ és una funció constant. Ademés, una funció holomorfa sobre un conjunt obert conexo queda totalment determinada pels seus valors en qualsevol subconjunt obert no buit.

Resultats principals

Archiu:Complex-plot.png

Coloreado del domini d'una funció evaluada en la seua part complexa: f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2/x2 + 2 + 2i. Usant esta funció coloreada. Creat en el software cplot.

Integrals de contorn

Una ferramenta de central importància en l'anàlisis complex és l'integral de contorn. L'integral d'una funció que siga holomorfa sobre i en l'interior d'un camí tancat és sempre zero. Açò és el Teorema integral de Cauchy. Els valors d'una funció holomorfa dins d'un disc poden ser trobats per mig d'una integral de contorn sobre la frontera del disc (fòrmula integral de Cauchy). Les integrals de contorn en el pla complex s'usen a sovint per a trobar integrals reals complicades, i para açò és útil la teoria dels residus. Si una funció té una singularitat en algun punt (o número finitos d'ells), que vol dir que els seus valors "esclaten", que no té un valor finito en tals punts, llavors es pot definir el residu de la funció en dita singularitat, i estos residus poden ser usats per a calcular integrals aparentment difícils d'una manera senzilla, est és el contingut del poderós teorema dels residus. El curiós comportament de les funcions holomorfas prop de les singularitats essencials és descrit pel teorema de Weierstrass-Casorati. Les funcions que tenen sol pols (un tipo de singularitat de funcions racionals a on el polinomi denominador té un número finito de zeros) i no singularitats essencials es denominen meromorfas.

Séries de Laurent

Les series de Laurent són similars a les series de Taylor pero poden ser usades per a estudiar el comportament de les funcions prop de les singularitats.

Teorema de Liouville

Una funció acotada que siga holomorfa en el pla complex deu ser constant; açò és el Teorema de Liouville, que pot usar-se per a donar una prova natural i breu del Teorema fonamental de l'àlgebra, que diu que el cos dels número complejo és un cos algebraicamente tancat.

Continuació analítica

Una propietat important de les funcions holomorfas és que si una funció ho és en un domini simplement conexo llavors els seus valors estan completament determinats pels seus valors sobre qualsevol subdomini més menut. La funció sobre el domini més gran es diria que està analíticamente continuada, que és la continuació des dels seus valors en el domini més menut. Açò permet estendre, a casi tot el pla, la definició de funcions com la funció ζ de Riemann que estan inicialment definides en térmens de sumes infinites que convergixen solament sobre dominis llimitats. Algunes voltes, com en el cas del logaritmo natural, és impossible continuar analíticamente una funció holomorfa a un domini conexo no simple en el pla complex, pero és possible estendre-la a una funció holomorfa sobre una superfície íntimament relacionada coneguda com superfície de Riemann.

Equacions de Cauchy-Riemann

Les funcions analítiques o holomorfas estan íntimament lligades a les equacions en derivades parcials de dos modos. Una funció diferenciable del pla al pla és analítica si i solament si satisfà un sistema d'equacions de primer orde anomenat les equacions de Cauchy Riemann. Per un atre costat, la part real i imaginària d'una funció holomorfa tenen que ser funcions harmòniques. Les equacions de Cauchy Riemann són el prototip d'un sistema elíptic de primer orde

Uns atres

Vàries variables complexes

Existix també una rica teoria en el cas de més d'una dimensió complexa, a on les propietats analítiques com les d'expansió en séries de potències permaneix encara certa pero que no obstant la majoria de les propietats geomètriques de les funcions en una dimensió complexa (com la de transformació conforme) ya no ho són. El teorema de representació conforme de Riemann sobre les relacions conformes de certs dominis en el pla complex, que pot ser el resultat més important en la teoria unidimensional, falla totalment en dimensions majors.

Dimensions majors reals: Teorema de Liouville (transformació conforme)

Una atra manera d'entendre les funcions holomorfas són com a funcions del espai euclideo dos dimensional en sí mateixa que la seua derivada és una matriu conforme, és dir és una dilatacíon composta en una isometria. Tals funcions existixen també en dimensions majors pero un atre teorema de Liouville demostra que deuen ser necesariamante transformacions de Moebious, és dir composicions de moviments rígits i inversions respecte a esferes. En particular, si en dimensió dos el teorema de representació conforme de Riemann assegura que qualsevol domini simplement conexo és l'image per mig d'una transformació conforme del disc unitat, la rigidea proporcionada per esta teorema de Liouville implica que en dimensions majors les imàgens de la bola unitat per mig de transformacions conformes són necessàriament boles en un atre centre i un atre radi.

Vore també

• Anàlisis real
• Monodromía
• Múltiples variables complexes
• Dinàmica holomorfa
• Fibrado vectorial

Bibliografia

• Mark J. Ablowitz|Ablowitz, M. J. & A. S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
• Ahlfors, L., Complex Analysis (McGraw-Hill, 1953).
• Cartan, H., Théorie élémentaire dones fonctions analytiques d'unix ou plusieurs variables complexes. (Hermann, 1961). English translation, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables. (Addison-Wesley, 1963).
• Carathéodory, C., Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). English translation, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, 1954). [2 volumes.]
• Carrier, G. F., M. Krook, & C. E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. (McGraw-Hill, 1966).
• Conway, J. B., Functions of One Complex Variable. (Springer, 1973).
• Fisher, S., Complex Variables. (Wadsworth & Brooks/Cole, 1990).
• Forsyth, A., Theory of Functions of a Complex Variable (Cambridge, 1893).
• Freitag, E. & R. Busam, Funktionentheorie. (Springer, 1995). English translation, Complex Analysis. (Springer, 2005).
• Goursat, E., Cours d'analyse mathématique, prenga 2. (Gauthier-Villars, 1905). English translation, A course of mathematical analysis, vol. 2, part 1: Functions of a complex variable. (Ginn, 1916).
• Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. (Wiley, 1962).
• Lavrentyev, M. & B. Shabat, Методы теории функций комплексного переменного. (Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable). (1951, in Russian).
• Markushevich, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. (Freeman, 1973).
• Needham, T., Visual Complex Analysis. (Oxford, 1997). https://usf.usfca.edu/vca/
• Remmert, R., Theory of Complex Functions. (Springer, 1990).
• Rudin, W., Real and Complex Analysis. (McGraw-Hill, 1966).
• Shaw, W. T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Stein, E. & R. Shakarchi, Complex Analysis. (Princeton, 2003).
• Sveshnikov, A. G. & A. N. Tikhonov, Теория функций комплексной переменной. (Nauka, 1967). English translation, The Theory Of Functions Of A Complex Variable (MIR, 1978).
• Titchmarsh, E. C., The Theory of Functions. (Oxford, 1932).
• Wegert, E., Visual Complex Functions. (Birkhäuser, 2012).
• Whittaker, E. T. & G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. (Cambridge, 1902). 3rd ed. (1920)

Enllaços externs

• Complex Analysis en MathWorld.