Conjunt de Mandelbrot

Archiu:Mandelbrot set with blended gradients sqrt step and slope.png

Conjunt de Mandelbrot

Archiu:Mandelset hires.png

Representació matemàtica del conjunt de Mandelbrot com a subconjunt del pla complex. Els punts del conjunt es mostren en negre. Observe's cóm –1 pertany al conjunt, mentres que 1 no.

Archiu:Mandelbrot0.jpg

Representació del conjunt de Mandelbrot per mig de l'algoritme de temps d'escape

El conjunt de Mandelbrot és el més estudiat dels fractalés. Es coneix aixina en honor al matemàtic Benoît Mandelbrot (1924-2010), que va investigar sobre ell en els anys setanta.

Este conjunt es definix en el pla complex fixant un número complejo c qualsevol. A partir de c, es construïx una successió per recursión:

$\{\begin{array}{cc}{z}_0=0\in ℂ& \text{(término inicial)}\\ z_{n+1}=z_n^2+c& \text{(sucesión recursiva)}\end{array}$

Si esta successió queda acotada, llavors es diu que c pertany al conjunt de Mandelbrot, i si no, queda exclós.

Per eixemple, si c = 1 obtenim la successió 0, 1, 2, 5, 26, …, que divergix. Com no està acotada, 1 no és un element del conjunt de Mandelbrot.

En canvi, si c = –1 obtenim la successió 0, –1, 0, –1, …, que sí és acotada i, per tant, –1 sí pertany al conjunt de Mandelbrot.

A sovint es representa el conjunt per mig del algoritme de temps d'escape. En eixe cas, els colors dels punts que no pertanyen al conjunt indiquen la velocitat en la que divergix (tendix a l'infinit, en mòdul) la successió corresponent a dit punt. En l'image d'eixemple, observem que el roig obscur indica que a la veta de pocs càlculs se sap que el punt no està en el conjunt mentres que el blanc informa de que s'ha tardat molt més en comprovar-ho. Com no es pot calcular un sinfín de valors, cal posar un llímit i decidir que si els p primers térmens de la successió estan acotats llavors es considera que el punt pertany al conjunt. En aumentar el valor de p es millora la precisió de l'image.

Per una atra part, se sap que els punts la distància dels quals a l'orige és superior a 2, és dir, $x^2+y^2>4$ no pertanyen al conjunt. Per lo tant basta trobar un sol terme de la successió que verifique $|z_n|>2$ per a estar segur de que c no està en el conjunt.

Història

Archiu:Mandel.png

La primera image publicada del conjunt de Mandelbrot, per Robert W. Brooks i Peter Matelski en 1978

La teoria bàsica sobre l'iteración de funcions complexes va ser desenrollada per Gaston Julia i Pierre Fatou en els anys 1910. La forma extraordinàriament intrincada de conjunts relacionats en estes iteraciones es va revelar en el moment en que els gràfics per ordenador varen ser lo suficientment alvançats. Les primeres imàgens del conjunt, alguna cosa burdas, de Robert Brooks i Peter Matelski, daten de 1978.

Benoit Mandelbrot va estudiar l'espai de paràmetros de polinomis quadràtics en un artícul aparegut en 1980 i va despertar interés global.

L'estudi matemàtic rigorós d'este conjunt realment va començar en el treball dels matemàtics Adrien Douady i John H. Hubbard, els qui varen demostrar moltes de les seues propietats fonamentals i varen nomenar el conjunt en honor de Mandelbrot. Entre atres propietats, varen provar que és un conjunt conexo i varen formular la conjectura MLC, que formula la creència de que el conjunt de Mandelbrot és localment conexo.

El treball de Douady i Hubbard va coincidir en un enorme aument de l'interés per la dinàmica complexa i les matemàtiques abstractes, i l'estudi del conjunt de Mandelbrot ha segut una peça central d'este camp des de llavors. Una llista exhaustiva de tots els que han contribuït a la comprensió d'este conjunt des de llavors és llarga pero inclouria a Jean-Christophe Yoccoz, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, John Milnor i Mikhail Lyubich.

Definició formal

El conjunt de Mandelbrot és el conjunt de valors de c en el pla complex para els que l'òrbita del punt crític $z=0$ baix iteración del mapa quadràtic

$z_{n+1}=z_n^2+c$

permaneix acotada. Aixina, un número complejo c és membre del conjunt de Mandelbrot si, en començar en $z_0=0$ i aplicar la iteración repetidament, el valor absolut de $z_n$ permaneix acotat per a tot $n>0$.

Per eixemple, per a c = 1, la seqüència és 0, 1, 2, 5, 26, ..., que tendix a infinit, per lo que 1 no és un element del conjunt de Mandelbrot. En canvi, per a $c=-1$, la successió és 0, -1, 0, -1, 0, ..., que està acotada, per lo que -1 sí pertany al conjunt.

El conjunt de Mandelbrot també pot definir-se com el lloc de conectivitat de la família de polinomis quadràtics $f(z)=z^2+c$, el subconjunt de l'espai de paràmetros $c$ per al que el conjunt de Julia del polinomi corresponent forma un conjunt conexo. De la mateixa manera, la frontera del conjunt de Mandelbrot pot definir-se com el lloc de forcall d'esta família quadràtica, el subconjunt de paràmetros prop del com el comportament dinàmic del polinomi (quan és iterada repetidament) canvia dràsticament.

Propietats bàsiques

El conjunt de Mandelbrot és un conjunt compacte, ya que és tancat i està contingut en el disc tancat de radi 2 al voltant del orige. Més concretament, un punt $c$ pertany al conjunt de Mandelbrot si i només si $|z_n|\le 2$ para tot $n\ge 0$. En atres paraules, el valor absolut de $z_n$ deu permanéixer igual o per baix de 2 per a que $c$ estiga en el conjunt de Mandelbrot, $M$, i si eixe valor absolut supera 2, la successió escaparà a l'infinit. Com $c=z_1$, es deduïx que $|c|\le 2$, establint que $c$ sempre estarà en el disc tancat de radi 2 al voltant de l'orige.

Archiu:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg

Correspondència entre el conjunt de Mandelbrot i el diagrama de forcall del mapa llogístic

Archiu:Logistic Map Bifurcations Underneath Mandelbrot Set.gif

En $z_n$ iterados traçats en l'eix vertical, es pot vore que el conjunt de Mandelbrot bifurca a on el conjunt és finito

.

l'intersecció de $M$ en l'eix real és precisament l'interval $[-2,\frac{1}{4}]$. Els paràmetros a lo llarc d'este interval es poden posar en correspondència un a un en els de el família llogística real,

$x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n),r\in [1,4].$

la correspondència ve donada per

$z=r(\frac{1}{2}-x),c=\frac{r}{2}(1-\frac{r}{2}).$

De fet, açò dona una correspondència entre tot l'espai de paràmetros de la família llogística i el del conjunt de Mandelbrot.^{cita requerida}

Douady i Hubbard han demostrat que el conjunt de Mandelbrot és conectat. De fet, varen construir un isomorfisme conformacional explícit entre el complement del conjunt de Mandelbrot i el complement del disc unitari tancat. Mandelbrot hi havia conjeturado originalment que el conjunt de Mandelbrot és desconectat. Esta conjectura es basava en imàgens d'ordenador generades per programes incapaços de detectar els prims filaments que conecten les distintes parts de $M$. Despuix de nous experiments, va revisar la seua conjectura, decidint que $M$ deuria estar conectat. També existix una prova topològica de la conectivitat que va ser descoberta en 2001 per Jeremy Kahn.

Archiu:Wakes near the period 1 continent in the Mandelbrot set.png

Rajos externs d'esteles prop del continent de periodo 1 en el conjunt de Mandelbrot

La fòrmula dinàmica per a l'uniformización del complement del conjunt de Mandelbrot, que sorgix de la demostració de Douady i Hubbard de la conectivitat de $M$, dona lloc a rajos externs del conjunt de Mandelbrot. Estos rajos poden utilisar-se per a estudiar el conjunt de Mandelbrot en térmens combinatoris i constituïxen la columna vertebral del Parapuzzle de Yoccoz.

Com s'ha mencionat anteriorment en l'artícul, la frontera del conjunt de Mandelbrot és el lloc de forcall de la família de polinomis quadràtics. En atres paraules, el llímit del conjunt de Mandelbrot és el conjunt de tots els paràmetros $c$ per als quals la dinàmica del mapa quadràtic $z_n=z_{n-1}^2+c$ exhibix una dependència sensible de $c,$ és dir, canvia bruscament baix canvis arbitrariamente menuts de $c.$ Pot construir-se com el conjunt llímit d'una seqüència de curves algebraiques planes, les curves de Mandelbrot, del tipo general conegut com lemniscatas polinòmiques. Les curves de Mandelbrot es definixen establint $p_0=z,p_{n+1}=p_n^2+z$, i després interpretant el conjunt de punts $|p_n(z)|=2$ en el pla complex com una curva en el pla cartesiano real de grau $2^{n+1}$ en x i i. Cada curva $n>0$ és el mapage d'un círcul inicial de radi 2 baix $p_n$. Estes curves algebraiques apareixen en imàgens del conjunt de Mandelbrot calculades per mig de el "algoritme del temps d'escape" que es menciona més alvance.

Atres propietats

Peres cardioides principals i d'época

Archiu:Mandelbrot Set – Periodicities coloured.png

Periodos de les components hiperbòliques

En mirar una image del conjunt de Mandelbrot, un nota immediatament la gran regió cardioide en el centre. Esta cardioide principal és la regió de paràmetros $c$ per a la qual el mapa

$f_c(z)=z^2+c$

té un punt fix d'atracció. Consistix en tots els paràmetros de la forma

$c(\mu ):=\frac{\mu }{2}(1-\frac{\mu }{2})$

per a algun $\mu$ en el disc unitari obert.

A l'esquerra del cardioide principal, unit a ell en el punt $c=-3/4$, és visible un bulbo circular cridat bulbo de periodo-2. La raó del nom és que el bulbo consistix precisament en aquells paràmetros $c$ per als que $f_c$ té un cicle atractor de periodo 2. De fet és el círcul reblixc de radi 1/4 centrat en -1.

De forma més general, per a cada sancer positiu $q>2$, existixen $\varphi (q)$ bulbos circulares tangentes a la cardioide principal cridats bulbos de periodo-q (a on $\varphi$ denota la funció phi de Euler), que consistixen en paràmetros $c$ per als que $f_c$ té un cicle d'atracció de periodo $q$. Més concretament, per a cada raïl primitiva $q$ de l'unitat $r=e^{2\pi i\frac{p}{q}}$ (a on $0<\frac{p}{q}<1$), existix un bulbo de periodo-q cridat bulbo $\frac{p}{q}$, que és tangente a la cardioide principal en el paràmetro

$c_{\frac{p}{q}}:=c(r)=\frac{r}{2}(1-\frac{r}{2}),$

Archiu:Animated cycle.gif

Cicle d'atracció en 2/5-bulbo traçat sobre un conjunt de Julia (animació)

i que conté paràmetros en $q$-cicles que tenen número de rotació combinatòria $\frac{p}{q}$. Més concretament, les $q$ components periòdiques Components de Fatou que contenen el cicle d'atracció es toquen totes en un punt comú (comunament cridat el punt fix $\alpha$). Si etiquetem estes components $U_0,\dots ,U_{q-1}$ en orientació antihoraria, llavors $f_c$ mapea la component $U_j$ a la component $U_{j+p(\mathrm{mod}q)}$.

Archiu:Juliacycles1.png

Cicles d'atracció i conjunts de Julia per a 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 i 1/5-bulbos

El canvi de comportament que es produïx en $c_{\frac{p}{q}}$ es coneix com forcall: el punt fix d'atracció "colisiona" en un cicle periodo-q de repulsió. En passar pel paràmetro de forcall en el $\frac{p}{q}$-bulbo, el punt fix d'atracció es convertix en un punt fix de repulsió (el $\frac{p}{q}$-punt fix), i el cicle periodo-q es convertix en atracció.

Invariabilidad en diverses escales

Archiu:Mandelbrot plano.jpg

Una propietat fonamental dels fractalés és la invariabilidad total o parcial de certes característiques con relación a diverses escales, en particular, en ampliar certes parts de l'image d'un fractal, reapareix una image similar a l'inicial i aixina successivament. A continuació es mostren les ampliacions de l'image principal:

• Requadro vert
  Requadro vert
• Minirecuadro gris
  Minirecuadro gris
• Requadro blanc
  Requadro blanc

En engrandir el requadro vert, s'aprecia:

• S'observa una bola negra en un contorn molt similar a l'image inicial.

• La següent bola negra ampliable del requadro vert és més similar a la major que a l'image inicial.

En engrandir el requadro gris situat en l'extrem esquerre de l'image inicial, es té que la seua semblança a l'image inicial és obvi. El procés es pot repetir un sinfín de voltes elegint ben l'image a ampliar.

En engrandir el requadro violeta de l'image principal, es té que l'image apareix una taca dalt a l'esquerra que té aparentment la mateixa forma que l'image inicial.

• Requadro violeta
  Requadro violeta
• Detall del requadro violeta
  Detall del requadro violeta
• Detalle
  Detalle

Archiu:Mandelbrot.png

Una atra representació del conjunt de Mandelbrot

Ara, engrandim el quadro blau clar de la dreta del pla (image de la dreta):

Acostem-nos al quadro blanc de l'última image (a l'esquerra):

Ací es nota una llaugera deformació de la figura inicial. No obstant, esta image seguix sent isomorfa a l'inicial. I clar, al voltant de cada clon de la forma inicial existixen atres clons minúsculs, en les mateixes posicions relatives que en la figura global. El procés no té fi.

Una atra representació

En esta image, el conjunt és, naturalment, el mateix, pero les llínees de nivell (que separen els colors, fòra del conjunt) no són idèntiques. Açò es deu a que no s'ha amprat el mateix criteri de divergència, en esta image és realment $|z_n|>2$, mentres que en les anteriors era $|z_n|>10$, per raons estètiques, ya que aixina s'obté una image inicial menys obscura.

Relació en els conjunts de Gaston Julia

Existix una atra manera de definir este conjunt: és el conjunt dels complexos c per als que el conjunt de Julia associat a $f_c(z)=z^2+c$ és conexo.

Imàgens calculades en ordenador digital

Fins que no varen aparéixer els primers ordenadors digitals no es va poder visualisar este fractal en tota la seua complexitat.

En la série que es detalla davall podem vore cóm va millorant la definició del fractal, mida que incrementem el número de iteraciones. Els punts que convergixen a un valor determinat apareixen de color groc pàlit, i pertanyen pròpiament al conjunt de Mandelbrot. Els punts que presenten divergència a l'infinit s'han coloreado en una gama cromàtica que va des del gris al negre, en funció del número de iteraciones necessàries (algoritme de la velocitat d'escape). Quantes menys iteraciones són necessàries per a divergir a l'infinit, s'aplica un color més obscur.

• 10 iteraciones per píxel
  10 iteraciones per píxel
• 12 iteraciones per píxel
  12 iteraciones per píxel
• 15 iteraciones per píxel
  15 iteraciones per píxel
• 20 iteraciones per píxel
  20 iteraciones per píxel
• 50 iteraciones per píxel
  50 iteraciones per píxel
• 500 iteraciones per píxel
  500 iteraciones per píxel

L'art i el conjunt de Mandelbrot

A algunes persones els agrada trobar formes geomètriques interessants en el conjunt de Mandelbrot. Ací hi ha alguns eixemples de belles regions d'este conjunt:

• Archiu:Mandelbrot Set Image 31.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 49.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 51.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 76.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 60.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 72.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 71.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 66.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 67.png
• Archiu:Mandelbrot Set Image 35.png

Propietats

Archiu:Julia set (C = 0.285, 0.01).jpg

Julia set (C = 0.285, 0.01)

Propietats topològiques

El conjunt de Mandelbrot és compacte, conexo i el seu complement també és conexo. El seu interior, de la mateixa manera que qualsevol interior d'un subconjunt de $ℂ$ no buit, resulta ser de la cardinalidad de $ℝ$, açò és una conseqüència directa de que la topología usual en $ℂ$ té una base d'oberts de cardinalidad no numerable = $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$.

El seu frontera té dimensió topològica 1 pero dimensió de Hausdorff 2, la màxima possible en ser subconjunt del pla.

Vore també

• Benoît Mandelbrot (1924-2010).
• Fractal
• Conjunt de Julia
• Semblança (geometria)

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Conjunt de Mandelbrot.

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.