Velocitat d'escape

La velocitat d'escape és la velocitat inicial que cal imprimir-li a un objecte qualsevol per a alluntar-se indefinidament d'un cos o sistema més massiu al com li vincula únicament la gravetat. La velocitat d'escape (vi) depén de la massa (M) del cos o sistema massiu i de la distància que separa els centres de masses d'abdós (r) a través de la següent equació a on G és la constant de gravitació universal:^[1]

$v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$ .

Notablement, la velocitat d'escape no depén de la massa del mòvil que escapa, com es mostra en la seua deducció en térmens purament energètics. En el cas de la Terra, la velocitat d'escape mija des del nivell de la mar és d'11,19 km/s (quilómetros per segon), lo que equival a 40280 km/h (quilómetros per hora). A açò se li coneix com a velocitat d'escape de la Terra. La velocitat d'escape des de la superfície de la Lluna és de 2,38 km/s, des de la superfície de Mart 5,03 km/s, i des de la superfície del Sol 617,7 km/s.^{cita requerida}

En térmens més generals, la velocitat d'escape és la velocitat a la que la suma de l'energia cinètica d'un objecte i el seu energia potencial gravitatoria és igual a zero;^{[nb 1]} un objecte que ha alcançat la velocitat d'escape no està ni en la superfície, ni en una òrbita tancada (de qualsevol ràdio). En la velocitat d'escape en una direcció que apunte en direcció oposta al sol d'un cos massiu, l'objecte s'alluntarà del cos, ralentisant-se para sempre i acostant-se, pero sense alcançar mai, la velocitat zero. Una volta alcançada la velocitat d'escape, no és necessari aplicar cap impuls adicional per a que continue la seua fugida. En atres paraules, si se li dona velocitat d'escape, l'objecte s'alluntarà de l'atre cos, ralentisant-se contínuament, i s'acostarà, asintóticamente, a la velocitat zero a mida que la distància de l'objecte s'aproxime al infinit, per a no tornar jamai.^[2] Les velocitats superiors a la velocitat d'escape conserven una velocitat positiva a distància infinita. La velocitat d'escape mínima supon que no hi ha fricció (per eixemple, arrastre atmosfèric), que aumentaria la velocitat instantànea requerida per a escapar de l'influència gravitatoria, i que no hi haurà acceleració futura o desacceleració estranya (per eixemple, per espente o per la gravetat d'atres cossos), que canviaria la velocitat instantànea requerida.

La velocitat d'escape a una distancia d del centre d'un cos primari esféricamente simètric (com una estrela o un planeta) en massa M ve donada per la fòrmula^[3]^[1]

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{d}} = \sqrt{2 g d}

a on G és la constant gravitatoria universal G ≈ 6.67×10^-11 m³·kg^-1·s−^-2.^{[nb 2]} i g = GM/d² és l'acceleració gravitatoria local (o la gravetat superficial, quan d = r). Per eixemple, la velocitat d'escape de la superfície de la Terra és d'aproximadament 11.186 m/s (40.270 km/h; 25.020 mph; 36.700 ft/s)^[4] i la gravetat en superfície és d'uns 9,8 m/s² (9,8 N/kg, 32 peus/s²).

Quan se li dona una velocitat inicial $V$ major que la velocitat d'escape $v_{e},$ l'objecte s'aproximarà asintóticamente a la velocitat hiperbòlica en excés $v_{\infty},$ satisfent l'equació:^[5]

{v_{\infty}}^{2} = V^{2} - {v_{e}}^{2} .

Concepte

El concepte de velocitat d'escape tal i com s'ha definit no és aplicable al càlcul de la velocitat inicial, o de llançament, de mòvils que es mouen baix l'influència d'atres forces que favorixen el seu moviment, com la propulsió, o que se li oponen, com la resistència de l'aire. Pero sí quan estes atres forces estan absents, tal i com succeïx en la situació habitual de naus sense propulsió per damunt de l'atmòsfera. En l'astronáutica, en qualsevol cas, la velocitat d'escape rara volta és la velocitat objectiu fins a la qual deuen accelerar-se les naus per a solcar l'espai. Es tracta, pel contrari, d'un llímit superior a l'interval de velocitats que és necessari alcançar una volta fòra de l'atmòsfera per a iniciar el viage espacial. D'esta manera, la velocitat d'escape rep el nom de segona velocitat còsmica, sent el llímit inferior, o primera velocitat còsmica, la mínima necessària per a entrar en òrbita circular al voltant de l'astre, també coneguda com velocitat circular.

En el tercer volum dels Principia de Newton (De Mundi Systemate) el científic anglés presenta el concepte de velocitat d'escape per mig d'un eixemple en un canó que dispara proyectils des del cim d'una montanya (vore figura), eixemple en el qual es prescindix de la resistència aerodinàmica. Quan el proyectil es llança a una velocitat inferior a la velocitat circular, est colisiona contra la Terra seguint una trayectòria parabòlica. Quan el proyectil es llança a una velocitat igual a la seua velocitat circular, est entra en òrbita al voltant de la Terra seguint una trayectòria en forma de circumferència. Quan el proyectil es llança a una velocitat superior a la velocitat circular, pero inferior a la d'escape, est entra en òrbita al voltant de la Terra seguint una trayectòria elíptica, en la qual la Terra ocupa el primer foc. Quan el proyectil es llança a una velocitat igual a la d'escape, el segon foc d'esta elipse es troba en l'infinit i, en conseqüència, es tracta d'una paràbola. Quan el proyectil es llança a una velocitat superior a la d'escape, est seguix una òrbita oberta cridada hipérbola.

La velocitat d'escape depén de la forma del potencial gravitatorio en que es troba l'objecte, per lo que el plantejament seria llaugerament distint si este és impulsat des de l'interior o l'exterior del astre al com es troba vinculat. En l'exterior de l'astre la velocitat d'escape pot expressar-se explícitament en funció de l'altura h sobre la seua superfície per mig de la següent equació a on R és el radi de l'astre (r = R + h):

$v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{R + h}}$ .

La velocitat d'escape des de la superfície de la Terra és 11,19 km/s. A 200 km d'altura sobre el nivell mig de la mar, altitut que definix l'òrbita terrestre estable més baixa, és d'11,02 km/s. En este punt mereix la pena indicar que la velocitat d'escape del Sol a la distància de la Terra (una unitat astronòmica) és de 42,04 km/s, açò és casi 4 voltes la velocitat d'escape de la pròpia Terra. Aixina, un cos proyectat per damunt de l'atmòsfera a una velocitat superior a la velocitat d'escape de la Terra pero inferior a la del Sol a una unitat astronòmica de distància escaparia de l'atracció terrestre pero no de la del Sol. Quedaria, per lo tant, en òrbita al voltant del Sol.

El mateix resultat s'obté per mig d'un càlcul relativista, en el cas de la qual la variable r representa la coordenada radial o circumferència reduïda de la mètrica de Schwarzschild.^[6]^[7]

Definida una miqueta més formalment, la "velocitat d'escape" és la velocitat inicial requerida per a anar des d'un punt inicial en un camp de potencial gravitatorio fins a l'infinit i terminar en l'infinit en una velocitat residual de zero, sense cap acceleració adicional.^[8] Totes les velocitats es medixen sobre el camp. Ademés, la velocitat d'escape en un punt de l'espai és igual a la velocitat que tindria un objecte si partira del repòs des d'una distància infinita i fora atret per la gravetat fins a eixe punt.

En l'us comú, el punt inicial està en la superfície d'un planeta o lluna. En la superfície de la Terra, la velocitat d'escape és d'uns 11,2 km/s, que és aproximadament 33 voltes la velocitat del sò (Mach 33) i vàries voltes la velocitat d'eixida d'una bala de fusil (fins a 1,7 km/s). No obstant, a 9000 km d'altitut en el "espai", és llaugerament inferior a 7,1 km/s. Esta velocitat d'escape és relativa a un marc de referència no giratori, no relativa a la superfície en moviment del planeta o de la lluna (vore més alvance).

La velocitat d'escape és independent de la massa de l'objecte que escapa. No importa si la massa és de 1 kg o d'1.000 kg; lo que diferix és la cantitat d'energia necessària. Per a un objecte de massa $m$ l'energia necessària per a escapar del camp gravitatorio de la Terra és GMm / r, una funció de la massa de l'objecte (a on r és el ràdio de la Terra, nominalmente 6.371 quilómetros (3.959 el meu), G és la constant de gravitació universal, i M és la massa de la Terra, M = 5,9736 × 10²⁴ kg). Una cantitat relacionada és l'energia orbital específica, que és essencialment la suma de l'energia cinètica i potencial dividida per la massa. Un objecte ha alcançat la velocitat d'escape quan l'energia orbital específica és major o igual a zero.

Escenaris

Des de la superfície d'un cos

Una expressió alternativa per a la velocitat d'escape $v_{e}$ particularment útil en la superfície del cos és:

v_{e} = \sqrt{2 g r}

a on r és la distància entre el centre del cos i el punt en el que s'està calculant la velocitat d'escape i g és l'acceleració de la gravetat a eixa distància (és dir, la gravetat superficial).^[9]

Per a un cos en una distribució de massa esféricamente simètrica, la velocitat d'escape $v_{e}$ des de la superfície és proporcional al radi suponent densitat constant, i proporcional a la raïl quadrada de la densitat mija ρ.

v_{e} = K r \sqrt{ρ}

a on $K = \sqrt{\frac{8}{3} π G} \approx 2.364 \times 1 0^{- 5} m^{1.5} {kg}^{- 0.5} s^{- 1}$

Esta velocitat d'escape és relativa a un marc de referència no giratori, no relativa a la superfície en moviment del planeta o la lluna, com s'explica a continuació.

Des d'un cos en rotació

La velocitat d'escape relativa a la superfície d'un cos en rotació depén de la direcció en la que es desplace el cos en fuga. Per eixemple, com la velocitat de rotació de la Terra és de 465 m/s en l' equador, una eixida llançada tangencialmente des de l'equador terrestre cap a l'est requerix una velocitat inicial d'uns 10,735 km/s relativa a la superfície en moviment en el punt de llançament per a escapar, mentres que una eixida llançada tangencialmente des de l'equador terrestre cap a l'oest requerix una velocitat inicial d'uns 11,665 km/s relativa a eixa superfície en moviment. La velocitat de la superfície disminuïx en la coseno de la latitut geogràfica, per lo que les instalacions de llançament espacial solen situar-se lo més prop possible de l'equador, per eixemple, la Veta Canyar nortamericà (latitut 28°28′ N) i el Centre Espacial de la Guayana francesa (latitut 5°14′ N).

Consideracions pràctiques

En la majoria de les situacions no és pràctic alcançar la velocitat d'escape de forma casi instantànea, per l'acceleració que implica, i també perque si hi ha atmòsfera, les velocitats hipersónicas implicades (en la Terra una velocitat d'11,2 km/s, o 40.320 km/h) farien que la majoria dels objectes es cremaren pel calfament aerodinàmic o anaren dilacerats per la resistència atmosfèrica. Per a una òrbita d'escape real, una nau espacial accelerarà constantment fòra de l'atmòsfera fins que alcance la velocitat d'escape apropiada per a la seua altitut (que serà menor que en la superfície). En molts casos, la nau pot colocar-se primer en una òrbita d'estacionament (per eixemple, una òrbita terrestre baixa a 160-2.000 km) i després accelerar-se fins a alcançar la velocitat d'escape a eixa altitut, que serà llaugerament inferior (uns 11,0 km/s en una òrbita terrestre baixa de 200 km). No obstant, el canvie de velocitat adicional necessari és molt menor perque la nau ya té una velocitat orbital significativa (en l'òrbita terrestre baixa la velocitat és d'aproximadament 7,8 km/s, o 28.080 km/h).

Des d'un cos en òrbita

La velocitat d'escape a una altura donada és $\sqrt{2}$ voltes la velocitat en una òrbita circular a la mateixa altura, (compare's en l'equació de la velocitat en òrbita circular). Açò correspon al fet de que l'energia potencial sobre l'infinit d'un objecte en una òrbita d'este tipo és menys dos voltes la seua energia cinètica, mentres que per a escapar la suma d'energia potencial i cinètica té que ser a lo manco zero. La velocitat corresponent a l'òrbita circular es denomina a voltes primera velocitat còsmica, mentres que en este context la velocitat d'escape es denomina segona velocitat còsmica'.^[10]

Per a un cos en una òrbita elíptica que desige accelerar fins a una òrbita d'escape, la velocitat requerida variarà, i serà major en periapsis quan el cos estiga més prop del cos central. No obstant, la velocitat orbital del cos també serà màxima en este punt, i el canvi de velocitat necessari serà mínim, com explica l'efecte Oberth.

Velocitat d'escape baricéntrica

La velocitat d'escape pot medir-se sobre l'atre cos central o sobre el centre de massa o baricentre del sistema de cossos. Aixina, per a sistemes de dos cossos, el terme velocitat d'escape pot ser ambigu, pero normalment es referix a la velocitat d'escape baricéntrica del cos menys massiu. La velocitat d'escape sol referir-se a la velocitat d'escape de partícules de prova de massa zero. Per a partícules de prova de massa zero tenim que les velocitats d'escape 'relativa a l'atra' i 'baricéntrica' són iguals, a saber $v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{d}} .$ .
Pero quan no podem despreciar la massa menor (digam $m$ ) apleguem a fòrmules llaugerament distintes.
Degut a que el sistema té que obedir la llei de conservació del moment veem que tant la massa major com la menor deuen ser accelerades en el camp gravitatorio. En relació en el centre de massa, la velocitat de la massa major ( $v_{p}$ , per a planeta) pot expressar-se en térmens de la velocitat de la massa menor ( $v_{r}$ , per a eixida). S'obté $v_{p} = - \frac{m}{M} v_{r}$ .
La velocitat d'escape 'baricéntrica' es convertix ara en : $v_{r} = \sqrt{\frac{2 G M^{2}}{d (M + m)}} \approx \sqrt{\frac{2 G M}{d}}$ mentres que la velocitat d'escape "relativa a l'atra" es convertix en : $v_{r} - v_{p} = \sqrt{\frac{2 G (m + M)}{d}} \approx \sqrt{\frac{2 G M}{d}}$ .

Vore també

Notes

↑ L'energia potencial gravitatoria és negativa ya que la gravetat és una força d'atracció i l'energia potencial s'ha definit per a este propòsit com zero a una distància infinita del centre de gravetat.
↑ El valor GM es denomina paràmetro gravitatorio estàndart, o μ, i a sovint es coneix en més precisió que G o M per separat.

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Khatri, Poudel, Gautam, M.K., P.R., A.K. (2010). Principles of Physics, Kathmandu: Ayam Publication, pp. 170, 171. ISBN 9789937903844.
↑ Giancoli, Douglas C. (2008). Física per a científics i ingeniers en Física Moderna, Addison-Wesley, p. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.
↑ (2000) Nova Comprensió de la Física per a Nivell Alvançat, illustrated edició, Nelson Thornes, p. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8.. Extracte de la pàgina 231
↑ Lai, Shu T. (2011). Fonaments de la càrrega de naus espacials: Interaccions de naus espacials en plasmes espacials, Princeton University Press, p. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.
↑ (1971) Fonaments de Astrodinámica, ilustrated edició, Courier Corporation, p. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.
↑ (2010) Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, 2nd revised edició, Addison-Wesley, pp. 2–22. ISBN 978-0-321-51286-4. Sample chapter, page 2-22
↑ Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology, illustrated edició, Oxford University Press, pp. 116–117. ISBN 978-0-19-966646-1.
↑ «escape velocity | physics».
↑ Bat, Mueller i White, p. 35
↑ Teodorescu, P. P. (2007). Sistemes mecànics, models clàssics, Springer, Japó, p. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9., Secció 2.2.2, p. 580

Bibliografia

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums), Monytex.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª, CECSA, Mèxic. ISBN 970-24-0257-3.

Este artícul conté una traducció derivada de «Velocidad de escape» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[2] L'energia potencial gravitatoria és negativa ya que la gravetat és una força d'atracció i l'energia potencial s'ha definit per a este propòsit com zero a una distància infinita del centre de gravetat.

[5] El valor GM es denomina paràmetro gravitatorio estàndart, o μ, i a sovint es coneix en més precisió que G o M per separat.

[dup-0-40-1] 1,0 ^1,1 Khatri, Poudel, Gautam, M.K., P.R., A.K. (2010). Principles of Physics, Kathmandu: Ayam Publication, pp. 170, 171. ISBN 9789937903844.

[3] Giancoli, Douglas C. (2008). Física per a científics i ingeniers en Física Moderna, Addison-Wesley, p. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.

[4] (2000) Nova Comprensió de la Física per a Nivell Alvançat, illustrated edició, Nelson Thornes, p. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8.. Extracte de la pàgina 231

[6] Lai, Shu T. (2011). Fonaments de la càrrega de naus espacials: Interaccions de naus espacials en plasmes espacials, Princeton University Press, p. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.

[7] (1971) Fonaments de Astrodinámica, ilustrated edició, Courier Corporation, p. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.

[8] (2010) Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, 2nd revised edició, Addison-Wesley, pp. 2–22. ISBN 978-0-321-51286-4. Sample chapter, page 2-22

[9] Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology, illustrated edició, Oxford University Press, pp. 116–117. ISBN 978-0-19-966646-1.

[10] «escape velocity | physics».

[11] Bat, Mueller i White, p. 35

[12] Teodorescu, P. P. (2007). Sistemes mecànics, models clàssics, Springer, Japó, p. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9., Secció 2.2.2, p. 580

[1]

[nb 1]

[2]

[3]

[nb 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]