Energia orbital específica

En el problema gravitatorio de dos cossos, la energia orbital específica $ϵ$ (o energia vis-viva) de dos cossos en òrbita és la suma constant de la seua energia potencial mútua (${ϵ}_p$) i la seua energia cinètica total (${ϵ}_k$), dividida per la massa reduïda. D'acort en l'equació de conservació d'energia orbital (també coneguda com a equació de vis-viva), no varia en el temps:

$\begin{array}{cc}ϵ& ={ϵ}_k+{ϵ}_p\\ & =\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}=-\frac{1}{2}\frac{{\mu }^2}{h^2}(1-e^2)=-\frac{\mu }{2a}\end{array}$

on

• $v$ és la velocitat orbital relativa;
• $r$ és la distància orbital entre els cossos;
• $\mu =G(m_1+m_2)$ és la suma dels paràmetros gravitacionals estàndart dels cossos;
• $h$ és el moment angular relatiu específic en el sentit de moment angular relatiu dividit per la massa reduïda;
• $e$ és l'excentricitat orbital;
• $a$és el semi-eix major.

S'expressa en $\frac{J}{kg}=m^2\cdot s^{-2}$ o $MJ/kg=k{m}^2\cdot s^{-2}$ ($MJ$ és mega-juliol). Per a una òrbita elíptica, l'energia orbital específica és el negatiu de l'energia adicional requerida per a accelerar una massa d'un quilogram a la velocitat d'escape (òrbita parabòlica). Per a una òrbita hiperbòlica, és igual a l'excés d'energia en comparació a la d'una òrbita parabòlica. En este cas, l'energia orbital específica també es denomina energia característica.

Forma d'equació per a diferents òrbites

Per a una òrbita elíptica, l'equació d'energia orbital específica, quan es combina en la conservació del moment angular específic en un dels àbsits de l'òrbita, se simplifica a:

$ϵ=-\frac{\mu }{2a}$

a on

• $\mu =G(m_1+m_2)$ és el paràmetro gravitacional estàndart;
• $a$ és el semi-eix major de l'òrbita.

Prova

Per a una òrbita elíptica en moment angular específic h donada per

$h^2=\mu p=\mu a(1-e^2)$

usem la forma general de l'equació d'energia orbital específica,

$ϵ=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}$

en la relació de que la velocitat relativa en periapsis és

$v_p^2=\frac{h^2}{{r_p}^2}=\frac{h^2}{{a^2(1-e)}^2}=\frac{\mu a(1-e^2)}{{a^2(1-e)}^2}=\frac{\mu (1-e^2)}{{a(1-e)}^2}$

Per lo tant, la nostra equació d'energia orbital específica es convertix

$ϵ=\frac{\mu }{a}[\frac{(1-e^2)}{{2(1-e)}^2}-\frac{1}{(1-e)}]=\frac{\mu }{a}[\frac{(1-e)(1+e)}{{2(1-e)}^2}-\frac{1}{(1-e)}]=\frac{\mu }{a}[\frac{(1+e)}{2(1-e)}-\frac{2}{2(1-e)}]=\frac{\mu }{a}\left[\frac{e-1}{2(1-e)}\right]$

i finalment en l'última simplificació obtenim:

$ϵ=-\frac{\mu }{2a}$

Per a una òrbita parabòlica, esta equació se simplifica a

$ϵ=0.$

Per a una trayectòria hiperbòlica, esta energia orbital específica està donada per

$ϵ=\frac{\mu }{2a}.$

o lo mateix que per a una elipse, depenent de la convenció per al signe de a.

En este cas, l'energia orbital específica també es denomina energia característica (o $C_3$) i és igual a l'excés d'energia específica en comparació a la d'una òrbita parabòlica.

Està relacionat en l'hiperbòlica velocitat d'excés $v_{\mathrm{\infty }}$(la velocitat orbital en l'infinit) per

$2ϵ=C_3=v_{\mathrm{\infty }}^2.$

És rellevant per a missions interplanetarias.

Per lo tant, si el vector de posició orbital ($𝐫$) i el vector de velocitat orbital ($𝐯$) es coneixen en una posició, i $\mu$ és conegut, llavors es pot calcular l'energia i, a partir d'això, per a qualsevol atra posició, la velocitat orbital.

Taxa de canvi

Per a una òrbita elíptica, la velocitat de canvi de l'energia orbital específica sobre un canvi en l'eix semieix major és

$\frac{\mu }{2a^2}$

a on

• $\mu =G(m_1+m_2)$ és el paràmetro gravitacional estàndart;
• $a$és el semi-eix major de l'òrbita.

En el cas de les òrbites circulares, esta velocitat és la mitat de la gravetat en l'òrbita. Açò correspon al fet de que para tals òrbites l'energia total és la mitat de l'energia potencial, perque l'energia cinètica és menys la mitat de l'energia potencial.

Vore també

• Canvi d'energia específic de les eixides