Centre de masses

El centre de masses d'un sistema discret o continu és el punt geomètric que dinàmicament es comporta com si en ell estiguera aplicada la resultant de les forces externes al sistema. De manera anàloga, es pot dir que el sistema format per tota la massa concentrada en el centre de masses és un sistema equivalent a l'original. Normalment s'abrevia com a c.m. o $G$.

Atres conceptes relacionats

Dos cossos orbitando al voltant del seu centre de masses en òrbites elíptiques.

En un tractament de sistemes de masses puntuals el centre de masses és el punt a on, a efectes inerciales, se supon concentrada tota la massa del sistema. El concepte s'utilisa per a anàlisis físics en els que no és indispensable considerar la distribució de massa. Per eixemple, en les òrbitas dels planetas.

En física, el centroide, el centre de gravetat i el centre de masses poden, baix certes circumstàncies, coincidir entre sí. En estos casos se sol utilisar els térmens de manera intercanviable, encara que designen conceptes diferents. El centroide és un concepte purament geomètric que depén de la forma del sistema; el centre de masses depén de la distribució de matèria, mentres que el centre de gravetat depén també del camp gravitatorio. Aixina tindrem que:

• el centre de masses coincidix en el centroide quan la densitat és uniforme o quan la distribució de matèria en el sistema té certes propietats, tals com simetria.
• el centre de masses coincidix en el centre de gravetat, quan el sistema es troba en un camp gravitatorio uniforme (el mòdul i la direcció de la força de gravetat són constants).

Càlcul del centre de masses d'un sistema

Distribució discreta de matèria

Per a un sistema de masses discret, format per un conjunt de masses puntuals, el centre de masses es pot calcular com:

${𝐫}_{\text{cm}}=\frac{\sum _i{m}_i{𝐫}_i}{\sum _i{m}_i}=\frac{1}{M}\sum _i{m}_i{𝐫}_i$

$M$, massa total del sistema de partícules.

$m_i$, massa de la partícula i-ésima.

${𝐫}_i$, vector de posició de la massa i-ésima respecte al sistema de referència supost.

Una miqueta més explícit si A₁,... A_n són n punts, i m₁,... m_n n números (m com a massa). Llavors el centre de massa dels (A_i, m_i) és el punt OG definit com seguix:

Esta definició no depén del punt O, que pot ser qualsevol. Si es pren l'orige del pla o de l'espai, s'obtenen les coordenades del baricentre com a promig ponderat pels m_i de les coordenades dels punts A_i:

La definició anterior equival a la fòrmula següent, més pràctica per al càlcul vectorial, puix prescindix de les fraccions (s'obté prenent O = G):

Distribució cuasidiscreta de matèria

En el cas d'un sistema de cossos cuasipuntuales, o cossos que disten entre sí molt més que les dimensions de cada u dels cossos, el càlcul anterior resulta prou aproximat.

Distribució contínua de matèria

Per a sistemes de masses continus o distribucions contínues de matèria devem recórrer al càlcul infinitesimal i integral, de modo que l'expressió anterior s'escriu en la forma:

${𝐫}_{\text{cm}}=\frac{\int 𝐫dm}{\int dm}=\frac{1}{M}\int 𝐫dm$

• Distribució de massa homogénea: si la massa està distribuïda homogéneament, la densitat serà constant per lo que es pot traure fòra de l'integral fent us de la relació següent: $dm=\rho dV$

${𝐫}_{\text{cm}}=\frac{\rho \underset{V}{\int }𝐫dV}{\rho \int dV}=\frac{\underset{V}{\int }𝐫dV}{V}$

sent V el volum de la distribució.

Per a cossos bidimensionales (superfícies) o monodimensionales (llínees) es treballarà en densitat superficials i llongitudinals respectivament.

Per al cas de cossos en densitat uniforme, el centre de masses coincidirà en el centroide del cos.

• Distribució de massa no homogénea: els centres de masses en cossos de densitat variable poden calcular-se si es coneix la funció de densitat $\rho (𝐫)$. En este cas es calcula el centre de masses de la següent forma.

${𝐫}_{\text{cm}}=\frac{\underset{V}{\int }𝐫\rho (𝐫)dV}{M}$

Per a calcular l'integral cal conéixer la funció de densitat.