Espai de paràmetros

El espai de paràmetros és l'espai de possibles valors de paràmetros que definixen un model matemàtic particular, a sovint un subconjunt del espai euclidiano de dimensió finita. A sovint, els paràmetros són entrades d'una funció, en el cas de la qual el terme tècnic per a l'espai de paràmetros és el domini d'una funció. Els rancs de valors dels paràmetros poden formar els eixos d'una gràfica, i els resultats particulars del model poden traçar-se contra estos eixos per a ilustrar cóm diferents regions de l'espai de paràmetros produïxen diferents tipos de comportament en el model.

En estadística, els espais de paràmetros són particularment útils per a descriure famílies paramètriques de distribucions de provabilitat. També formen la base per a l'estimació de paràmetros. En el cas d'estimadors d'extrems para models paramètrics, una determinada funció objectiu s'maximizar o minimisa en l'espai de paràmetros. Les teoremes d'existència i consistència de tals estimadors requerixen alguns supòsits sobre la topología de l'espai de paràmetros. Per eixemple, la compacidad de l'espai de paràmetros, junt en la continuïtat de la funció objectiu, és suficient per a l'existència d'un estimador d'extrems.

Eixemples

• Un model simple de deterioració de la salut despuix de desenrollar càncer de pulmó podria incloure els dos paràmetros gènero i fumador/no fumador, en el cas del qual l'espai de paràmetros és el següent conjunt de quatre possibilitats: {(Home, fumador), (Home, no fumador), (Dòna, fumadora), (Dòna, no fumadora)}.

• El mapa llogístic $x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n)$ té un paràmetro, r, que pot prendre qualsevol valor positiu. Per tant, l'espai de paràmetros són número real positius.

Per a alguns valors de r, esta funció termina circulant al voltant d'uns pocs valors, o fixada en un valor. Estos valors a llarc determini es poden graficar contra r en un diagrama de forcall per a mostrar els diferents comportaments de la funció per a diferents valors de r.

• En un model d'ona sinusoidal $y(t)=A\cdot \sin (\omega t+\varphi ),$ els paràmetros són amplitut A > 0, freqüència angular ω > 0 i fase φ ∈ S¹. Per tant, l'espai de paràmetros és $R^{+}\times R^{+}\times S^1.$

• En dinàmica complexa, l'espai de paràmetros és el pla complex C = {z = x + i i : x, i ∈ R}, a on i² = − 1.

El famós conjunt de Mandelbrot és un subconjunt d'este espai de paràmetros, que consta dels punts en el pla complex que donen un conjunt acotat de números quan una funció iterada particular s'aplica repetidament des d'eixe punt de partida. Els punts restants, que no estan en el conjunt, donen un conjunt illimitat de números (tendixen a l'infinit) quan esta funció s'aplica repetidament des d'eixe punt de partida.

• En l'aprenentage automàtic, una ret neuronal artificial és un model que consta d'un gràfic dirigit, en pesos (número real) en les vores del gràfic. L'espai de paràmetros es coneix com a espai de pes, i el "aprenentage" consistix en actualisar els paràmetros, la majoria de les voltes per mig de descens de gradient o alguna variant.

Història

L'espai de paràmetros va contribuir a la lliberació de la geometria dels confines del espai tridimensional. Per eixemple, el paràmetro espai d'esferes en tres dimensions té quatre dimensions: tres per al centre de l'esfera i una atra per al radi. Segons Dirk Struik, va anar el llibre Neue Geometrie dones Raumes (1849) de Julius Plücker el que va mostrar

...la geometria no necessita basar-se únicament en punts com a elements bàsics. Es poden utilisar llínees, plans, círculs, esferes com a elements (Raumelemente) en els que es pot basar una geometria. Esta fèrtil concepció va tirar nova llum sobre la geometria tant sintètica com a algebraica i va crear noves formes de dualitat. El número de dimensions d'una forma particular de geometria ara podria ser qualsevol número positiu, depenent del número de paràmetros necessaris per a definir el "element".

El requisit de dimensions més altes s'ilustra en la geometria llineal de Plücker. Struik escriu

La geometria de llínees [de Plücker] en l'espai tridimensional podria considerar-se com una geometria de quatre dimensions, o, com Klein ha emfatisat, com la geometria d'un cuadriculado de quatre dimensions en un espai de cinc dimensions.

Per tant, el cuadriculado de Klein descriu els paràmetros de les llínees en l'espai.

Vore també

• Espai mostral
• Espai de configuració
• Anàlisis de les senyes
• Reducció de dimensionalidad
• Hiperparámetro (aprenentage automàtic)
• Selecció de model
• Equació paramètrica
• Superfície paramètrica
• Espai de fase