Òrbita (dinàmica)

En matemàtica, en l'estudi dels sistemes dinàmics, una òrbita és un conjunt de punts relacionats per la funció evolució d'un sistema dinàmic. L'òrbita és un subconjunt del espai de fases i el conjunt de totes les òrbites és una partició de l'espai de fases, és dir, les òrbites mai s'intercepten en l'espai de fases. Un dels objectius de la teoria moderna de sistemes dinàmics és entendre les propietats de les òrbites usant topología dinàmica.

Para sistemes dinàmics discrets, les òrbites són una successió. Para sistemes dinàmics reals, les òrbites són curves mentres que per a sistemes dinàmics holomórficos les òrbites són superfícies de Riemann.

Definició

Este diagrama mostra l'òrbita periòdica d'un sistema massa-resort en moviment harmònic simple. (Ací, s'han invertit els eixos velocitat i posició sobre la convenció usual per a alinear els dos diagrames)

Donat un sistema dinàmic (T, M, Φ) en T un grup, M un conjunt i Φ la funció evolució

$\Phi :U\to M$ where $U\subset T\times M$ with $\Phi (0,x)=x$

definim

$I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},$

llavors el conjunt

${\gamma }_x:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M$

és cridat una òrbita que passa per x. Una òrbita que consistix d'un sol punt és cridada òrbita constant. Una òrbita no-constant és cridada tancada o periòdica si existix $t\ne 0$ en $I(x)$ tal que

$\Phi (t,x)=x$.

Sistema dinàmic real

Donat un sistema dinàmic real (R, M, Φ), I(x) és un interval obert en els reals, o siga $I(x)=(t_x^{-},t_x^{+})$. Per a qualsevol x en M

${\gamma }_x^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_x^{+})\}$

és cridada 'semi-òrbita positiva a través de x i

${\gamma }_x^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_x^{-},0)\}$

és cridada semi-òrbita negativa a través de x.

Sistema dinàmic discret

Per a sistemes dinàmics de temps discret:

òrbita positiva de x és un conjunt :

${\gamma }_x^{+}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\Phi (t,x):t\ge 0\}$

òrbita negativa de x un atre conjunt :

${\gamma }_x^{-}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\Phi (-t,x):t\ge 0\}$

i la òrbita és l'unió :

${\gamma }_x\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\gamma }_x^{-}\cup {\gamma }_x^{+}$

a on:

• $\Phi$ és una funció evolució $\Phi :X\to X$ que este cas és una funció iterada,
• el conjunt $X$ és el espai dinàmic,
• $t$ és el número de iteraciones, el qual és natural i $t\in T$
• $x$ és un estat inicial del sistema i $x\in X$

Usualment s'utilisa una atra notació:

• $\Phi (t,x)$ s'escriu com ${\Phi }^t(x)$
• $x_t={\Phi }^t(x)$ a on $x_0$ és $x$ en la notació anterior.

Sistema dinàmic general

Per a un sistema dinàmic general, especialment en dinàmica homogénea, quan un té un grup "ben comportat" $G$ actuant en un espai de provabilitats $X$ d'una manera que conserve la mètrica, una òrbita $G.x\subset X$ serà cridada periòdica (o equivalentemente tancada) si un estabilisador $Sta{b}_G(x)$ és una ret dins de $G$.

La classificació d'òrbites pot dur a preguntes interessants con relación a atres àrees de la matemàtica, per eixemple, la conjectura de Oppenheim (demostrada per Margulis) i la conjectura de Littlewood (demostrada parcialment per Lindenstrauss) tracten en la pregunta de si tota òrbita acotada d'alguna acció natural en l'espai homogéneu $S{L}_3(ℝ)\mathrm{\setminus }S{L}_3(\mathbb{Z})$ és una òrbita periòdica. Esta observació es deu a Raghunathan i en diferent llenguage a Cassels i Swinnerton-Dyer.

Notes

Usualment la funció evolució pot ser entesa com composta per elements d'un grup, en el cas del qual l'òrbita de l'acció grup és lo mateix que en òrbites dinàmiques.

Eixemples

Òrbita crítica d'un sistema dinàmic discret basat en un polinomi quadràtic complex. Tendix débilmente a un punt fix atractor en multiplicador=0.99993612384259

• L'òrbita d'un punt d'equilibri és una òrbita constant

Referències

• Katok, Anatole (1996). Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.