Punt d'equilibri

Vore també: Tipos d'equilibri

En matemàtiques, específicament en equacions diferencials, un punt d'equilibri és una solució constant a una equació diferencial.

Definició formal

El punt $\widetilde{𝐱}\in {ℝ}^n$ és un punt d'equilibri per a l'equació diferencial

$\frac{d𝐱}{dt}=𝐟(t,𝐱)$

Si $𝐟(t,\widetilde{𝐱})=\mathrm{𝟎}$ per a tots $t$

De la mateixa manera, el punt $\widetilde{𝐱}\in {ℝ}^n$ és un punt d'equilibri (o punt fix) per a l'equació en diferències

${𝐱}_{k+1}=𝐟(k,{𝐱}_k)$

Si $𝐟(k,\widetilde{𝐱})=\widetilde{𝐱}$ per a $k=0,1,2,\dots$

Els equilibris poden classificar-se observant els signes dels valors propis de la linealización de les equacions sobre els equilibris. És dir, evaluant la matriu jacobiana en cada u dels punts d'equilibri del sistema, i després trobant els valors propis resultants, els equilibris es poden categorizar. Llavors, el comportament del sistema en el veïnat de cada punt d'equilibri pot determinar-se cualitativamente (o inclús determinar-se cuantitativamente, en alguns casos), trobant els vectores propis associats en cada valor propi.

Un punt d'equilibri és hiperbòlic si cap dels valors propis té una part real zero. Si tots els valors propis tenen una part real negativa, l'equilibri és una equació estable. Si a lo manco un té una part real positiva, l'equilibri és un nodo inestable. Si a lo manco un valor propi té una part real negativa i a lo manco un té una part real positiva, l'equilibri és un punt de cadira.

Diagrama d'estabilitat classificant mapes de Poincaré del sistema autònom llineal $x^{\prime }=Ax,$ com a estables o inestables segons les seues característiques. L'estabilitat generalment aumenta a l'esquerra del diagrama. Alguns sumideros, fonts o nodos són punts d'equilibri.

Atres llectures

• Boyce, William E.; DiPrima, {{{nom2}}} (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 10th edició, Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems, 3rd edició, Springer, pp. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.

Vore també

• Punt crític
• Estat estable