Superfície de Riemann

Superfície de Riemann que apareix en estendre el domini de la funció

f (z) = \sqrt{z}

En geometria algebraica, una superfície de Riemann és una varietat complexa de dimensió (complexa) un. Conseqüentment, la varietat real subjacent serà de dimensió 2. Estes superfícies varen ser estudiades per primera volta per i duen el nom de Bernhard Riemann. Les superfícies de Riemann es poden considerar com a versions deformades del pla complex: localment, prop de cada punt, semblen pegats del pla complex, pero la topología global pot ser prou diferent. Per eixemple, poden semblar una esfera o un bou o vàries làmines pegades entre sí.

El principal interés de les superfícies de Riemann radica que entre elles poden definir-se funcions holomorfas. Les superfícies de Riemann es consideren hui en dia l'escenari natural per a estudiar el comportament global d'estes funcions, especialment funcions multivaluadas com la raïl quadrada i unes atres funcions algebraiques, o el logaritmo.

Tota superfície de Riemann és un varietat analítica real bidimensional (és dir, una superfície), pero conté més estructura (concretament un estructura complexa) que és necessària per a la definició inequívoca de les funcions holomorfas. Una múltiple real bidimensional pot convertir-se en una superfície de Riemann (normalment de vàries formes no equivalents) si i només si és orientable i metrisable. Aixina, l'esfera i el bou admeten estructures complexes, pero la banda de Möbius, la botella de Klein i el pla proyectivo real no.

Els fets geomètrics sobre les superfícies de Riemann són lo més "bonicos" possible, i a sovint proporcionen l'intuïció i la motivació per a generalisacions a atres curves, varietats o varietats. El teorema de Riemann-Roch és un excelent eixemple d'esta influència.

Història

El desenroll de l'idea de superfície de Riemann va començar a mitan de el XIX de la mà del matemàtic Bernhard Riemann, en els intents d'estendre el domini de definició de funcions analítiques $f : U \to ℂ$ definides sobre un obert $U$ del pla complex. L'extensió maximal (extensió analítica) es conseguia no sobre el propi pla complex, sino sobre còpies d'oberts del mateix que es solapaban, en lo que hui dia coneixem com a varietat complexa de dimensió un.

Concepte

Una varietat real de dimensió 2 pot convertir-se en una superfície de Riemann (freqüentment de varis modos no equivalents) si i solament si és orientable. D'esta manera, l'esfera i el bou admetran estructures complexes, pero la banda de Möbius, la botella de Klein i el pla proyectivo real no.

Se sap que la 2-esfera té una sola estructura analítica. Mentres que cada superfície orientable de gènero major que zero té una infinitat, contrastant en el punt de vista diferenciable ya que les superfícies només tenen una estructura diferenciable.

Les superfícies de Riemann constituïxen el lloc natural a on estudiar el comportament global de numeroses funcions. P ej:

f (z) = \sqrt{z}

f (z) = \log (z)

Definicions

Plantilla:Further Hi ha vàries definicions equivalents d'una superfície de Riemann.

Una superfície de Riemann X és una varietat complexa conexa de dimensió complexa un. Açò significa que X és un espai de Hausdorff conexo que està dotat d'un atles de cartes al disc unitari obert del pla complex: per a cada punt x ∈ X existix un entorn de x que és homeomorfo al disc unitari obert del pla complex, i es requerix que els mapes de transicions entre dos cartes superpostes siguen holomorfas.

Una superfície de Riemann és una varietat orientada de dimensió (real) dos -una superfície de dos costats- junt en una estructura conforme. De nou, ser una varietat significa que localment en qualsevol punt x de X, l'espai és homeomorfo a un subconjunt del pla real. El suplement "Riemann" significa que X està dotat d'una estructura adicional que permet medir ànguls en la varietat, a saber, una classe d'equivalència de les cridades mètriques de Riemann. Dos d'estes mètriques es consideren equivalents si els ànguls que medixen són els mateixos. L'elecció d'una classe d'equivalència de mètriques en X és la senya adicional de l'estructura conforme.

Una estructura complexa dona lloc a una estructura conforme elegint la mètrica euclídea estàndar donada en el pla complex i transportant-la a X per mig de les cartes. Demostrar que una estructura conforme determina una estructura complexa és més difícil.Vore^[1] per a la construcció d'una estructura complexa corresponent.

Atres definicions i propietats

Archiu:Riemann sphere1.jpg

representació de la gràfica de l'Esfera de Rieman

Com qualsevol funció entre varietats complexes, una funció f: M → N entre dos superfícies de Riemann M i N es diu holomorfa si per a cada carta g en l'atles de M i cada carta h en l'atles de N, la funció h ∘ f ∘ g^-1 és holomorfa (com a funció de C a C) onsevullga que estiga definida. La composició de dos funcions holomorfas és holomorfa. Les dos superfícies de Riemann M i N es diuen biholomorfas (o conformacionalmente equivalents per a emfatisar el punt de vista conformacional) si existix una funció biyectiva holomorfa de M a N que la seua inversa és també holomorfa (resulta que esta última condició és automàtica i per tant pot ometre's). Dos superfícies de Riemann conformes equivalents són idèntiques a efectes pràctics.

Orientabilidad

Cada superfície de Riemann, sent una varietat complexa, és orientable com una varietat real. Per a cartes complexes f i g en funció de transició h = f(g^{− 1}(z)), h pot considerar-se com una funció des d'un conjunt obert de R² a R² que la seua jacobiana en un punt z és només l'aplicació llineal real dau per la multiplicació per l'número complejo h'(z). No obstant, el determinant real de la multiplicació per un número complejo α és igual a |α|², per lo que el jacobiano de h té determinant positiu. En conseqüència, l'atles complex és un atles orientat.

Funcions

Tota superfície de Riemann no compacta admet funcions holomorfas no constants (en valors en C). De fet, tota superfície de Riemann no compacta és una varietat de Stein.

En canvi, en una superfície compacta de Riemann X tota funció holomorfa en valors en C és constant pel principi del màxim. No obstant, sempre existixen funcions meromorfas no constants (funcions holomorfas en valors en l'esfera de Riemann C ∪ {∞}). Més precisament, el cos de funcions de X és una extensió finita de C(t), el cos de funcions en una variable, és dir, dos funcions meromorfas qualssevol són algebraicamente dependents. Esta afirmació es generalisa a dimensions superiors, vore Siegel (1955). Les funcions meromorfas poden donar-se de forma prou explícita, en térmens de funcions theta de Riemann i de la funció d'Abel-Jacobi de la superfície.

Analítica vs. algebraica

L'existència de funcions meromorfas no constants pot utilisar-se per a demostrar que qualsevol superfície compacta de Riemann és una varietat proyectiva, és dir, pot estar donada per equacions polinòmiques dins d'un espai proyectivo. En realitat, es pot demostrar que tota superfície compacta de Riemann pot ser incrustada en l'espai proyectivo complex de dimensió 3. Es tracta d'una teorema sorprenent: les superfícies de Riemann vénen donades per cartes localment parcheados. Si s'afig una condició global, a saber, la compacidad, la superfície és necessàriament algebraica. Esta característica de les superfícies de Riemann permet estudiar-les en els mijos de la geometria analítica o de la geometria algebraica. L'afirmació corresponent per a objectes de dimensions superiors és falsa, és dir, existixen varietats complexes compactes de dimensió 2 que no són algebraiques. Per una atra part, tota varietat complexa proyectiva és necessàriament algebraica, vore Teorema de Chow.

Com a eixemple, considerem el bou T := C/(Z + τ Z). La funció de Weierstrass $℘_{τ} (z)$ pertanyent a la ret Z'+ τ Z és una funció meromorfa en T. Esta funció i la seua derivada ${℘_{τ}}^{'} (z)$ generen el cos de funcions de T.

[℘^{'} (z)]^{2} = 4 [℘ (z)]^{3} - g_{2} ℘ (z) - g_{3},

a on els coeficients g₂ i g₃ depenen de τ, donant aixina una curva elíptica I_τ en el sentit de la geometria algebraica. Invertir açò es conseguix per mig del j-invariante j(I), que pot utilisar-se per a determinar τ i, per tant, un toroide.

Eixemples

Siga S = C ∪ {∞} i siga f(z) = z a on z pertany a S {∞} i g(z) = 1 / z a on z pertany a S {0} i 1/∞ es definix com 0. Aixina definides, f i g són cartes complexes compatibles, i { f, g } és un atles per a S, convertint a S en una superfície de Riemann compactar cridada la esfera de Riemann.

Siga G un grup de biholomorfismos d'una superfície de Riemann $X$ , que actua de modo lliure i pròpiament discontinu, llavors el espai cocient $Y$ és una superfície de Riemann i la proyecció p: $X \to Y$ és una aplicació recubridora.

Per eixemple,

G

pot ser un grup de translacions del pla complex,. Siga

G

el grup generat per dos translacions independents, per eixemple:

T : z \to z + 1, U : z \to z + a

a on a és un número complejo no real. L'espai cocient serà homeomorfo al bou, La topología no dependrà de l'elecció de a (és sempre un bou), pero l'estructura complexa canvia sensiblement en variar a.

Numerosos eixemples de superfícies de Riemann no compactes s'obtenen pel procediment d'extensió analítica.

Erro al crear miniatura:

$f (z) = \arcsin z,$
Erro al crear miniatura:

$f (z) = \log z,$
Erro al crear miniatura:

$f (z) = z^{\frac{1}{3}}$
Erro al crear miniatura:

$f (z) = z^{\frac{1}{4}}$

Funcions

Tota superfície de Riemann no compacta admet funcions holomorfas no constants.

Açò contrasta en que en una superfície de Riemann compacta tota funció holomorfa és constant pel principi del màxim. No obstant, en superfícies compactes sempre existiran funcions meromorfas no constants, que poden considerar-se com a aplicacions holomorfas de la superfície sobre l'esfera de Riemann C ∪ {∞}).

Classificació de superfícies de Riemann

El conjunt de superfícies de Riemann pot dividir-se en tres tipos: les superfícies hiperbòliques, les parabòliques i les elíptiques. Esta divisió ve donada per la teorema de uniformización, que garantisa que tota superfície de Riemann simplement conexa és conformemente equivalent a una de les següents:

al pla complex $ℂ$
a l'esfera de Rieman $ℂ \cup {\infty}$ , també cridada llínea proyectiva complexa $P^{1} ℂ$ o

al disc obert D := {z ∈ C : |z| < 1} o a la superfície equivalent formada pel semiplano superior H := {z ∈ C : Im(z) > 0}.

En cas que la superfície X no siga simplement conexa, podrem afirmar que el seu recubridor universal I és conformemente equivalent a un dels tres models anteriors. En eixe cas, la superfície X podrà obtindre's com l'espai cocient de I baixe l'acció d'un grup de biholomorfismos del recubridor I que actue de modo lliure (és dir, sense punts fixos) i pròpiament discontinu.

Cocients de l'esfera (superfícies elíptiques). Els biholomorfismos de l'esfera són exactament les transformacions de Moebius. Com una transformació de Moebius sempre deixa un punt fix, no obtindrem cap cocient de l'esfera.
Cocients del pla (superfícies parabòliques). Els biholomorfismos del pla complex que actuen de modo lliure i pròpiament discontinu són les translacions, en concret els grups de translacions en un o dos generadors, isomorfos a $ℤ$ o a $ℤ + ℤ$ . Els cocients respectius són topológicamente equivalents a una corona circular o a un bou. En ser les translacions isometría respecte de la mètrica plana del pla, induïxen una mètrica plana en el cocient.
Cocients del disc (superfícies hiperbòliques)

Un grup de biholomorfismos del disc que actue de modo lliure i pròpiament discontinu es diu un grup fuchsiano. Existixen numerosos grups fuchsianos, i el seu estudi és un ram important de la geometria moderna.

Com tot biholomorfismo del disc resulta ser una isometría de la mètrica hiperbòlica del disc unitat, també coneguda com a mètrica de Poincaré, s'induïx una mètrica hiperbòlica en el cocient.

Classificació des de la teoria de funcions

L'esquema de classificació anterior sol ser utilisat pels geómetras. Existix una classificació diferent per a les superfícies de Riemann que solen utilisar els analistes complexos. Ampra una definició diferent per a "parabòlic" i "hiperbòlic". En este esquema de classificació alternatiu, una superfície de Riemann es denomina "parabòlica" si no hi ha funcions subarmónicas negatives no constants en la superfície i, de lo contrari, es denomina "hiperbòlica".^[2]^[3] Esta classe de superfícies hiperbòliques es subdivide en subclasses segons si els espais de funcions distints de les funcions subarmónicas negatives estan degenerados, per eixemple les superfícies de Riemann en les que totes les funcions holomorfas acotades són constants, o en les que totes les funcions harmòniques acotades són constants, o en les que totes les funcions harmòniques positives són constants, etc.

Per a evitar confusions, la classificació basada en mètriques de curvatura constant es diu classificació geomètrica, i la basada en la degeneració dels espais de funcions, classificació des de la teoria de funcions. Per eixemple, la superfície de Riemann que consta de "tots els número complejo llevat el 0 i el 1" és parabòlica en la classificació de teoria de funcions pero és hiperbòlica en la classificació geomètrica.

Referències

↑ Jost, 2006, Ch. 3.11.
↑ (1960).«Riemann Surfaces».Princeton University Press.Princeton, New Jersey:
↑ (1968).«Principal Functions».D. Von Nostrand Company, Inc..Princeton, New Jersey:

Fonts

(1980).«Riemann Surfaces».Springer-Verlag.Berlin, New York:
Pablo Arés Gastesi, Riemann Surfaces Book.

(1977).«Algebraic Geometry».Springer-Verlag.Berlin, New York:, esp. chapter IV.
(2006).«Compact Riemann Surfaces».Springer-Verlag.Berlin, New York:

208–219.

(2007).«Handbook of Teichmüller theory. Vol. I».European Mathematical Society (EMS), Zürich.11doi:10.4171/029.
(2009).«Handbook of Teichmüller theory. Vol. II».European Mathematical Society (EMS), Zürich.13doi:10.4171/055.
(2012).«Handbook of Teichmüller theory. Vol. III».European Mathematical Society (EMS), Zürich.19doi:10.4171/103.
*“From Riemann Surfaces to Complex Spaces” . Séminaires et Congrès.
(1955).«Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten».Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen. II. Mathematisch-Physikalische Klasse.1955

71–77.ISSN 0065-5295.

(2009).«The concept of a Riemann surface».Dover Publications.New York:

Enllaços externs

Plantilla:Springer
«Complex Analysis on Riemann Surfaces Math 213b». Harvard University.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Superficie de Riemann» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[FOOTNOTEJost2006{{{c}}}Ch._3.11-1] Jost, 2006, Ch. 3.11.

[2] (1960).«Riemann Surfaces».Princeton University Press.Princeton, New Jersey:

[3] (1968).«Principal Functions».D. Von Nostrand Company, Inc..Princeton, New Jersey:

[1]

[2]

[3]