Principi del màxim

Est artícul tracta sobre el principi del màxim en la teoria d'equacions diferencials parcials. Per a el principi del màxim en la teoria del control òptim i per a la teorema en anàlisis complex vore principi del mínim de Pontriaguin.

En els camps matemàtics de les equacions en derivades parcials i del anàlisis geomètric, es coneix com a principi del màxim^[1] a qualsevol d'una colecció de resultats i tècniques d'importància fonamental en l'estudi de les equacions diferencials elíptiques i parabòliques.

En el cas més simple, considere's una funció de dos variables $o (x, i)$ tal que

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.

El principi del màxim dèbil, en este context, diu que per a qualsevol subconjunt precompacto obert $M$ del domini de $o$ , el màxim de $o$ en el tancament de $M$ s'alcança en el llímit de $M$ . Per la seua banda, el principi del màxim fort diu que, a menos que $o$ siga una funció constant, el màxim tampoc pot alcançar-se en cap lloc del propi $M$ .

Tals afirmacions donen una image qualitativa sorprenent de les solucions de l'equació diferencial donada. Esta image qualitativa pot estendre's a molts tipos d'equacions diferencials. En numeroses situacions, també es poden utilisar dits principis màxims per a traure conclusions quantitatives precises sobre solucions d'equacions diferencials, com el control sobre el tamany del seu gradient. No existix un principi màxim únic o més general que s'aplique a totes les situacions al mateix temps.

En el camp de l'optimisació convexa, existix una declaració anàloga que afirma que el màxim d'una funció convexa en un conjunt compacte convexo s'alcança en la frontera.^[2]

Enfocament intuïtiu

Formulació parcial del principi del màxim fort

Ací es considera el cas més simple, encara que el mateix raonament pot estendre's a escenaris més generals. Siga $M$ un subconjunt obert del espai euclídeo i siga $o$ una funció $C 2$ en $M$ tal que

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{i} \partial x^{j}} = 0

a on para cada $i$ i $j$ entre 1 i $n$ , $a ij$ és una funció en $M$ en $a ij = a ji$ .

Ara, es fixa alguna opció de $x$ en $M$ . Segons el teorema de descomposició espectral de l'àlgebra llineal, tots els valors propis de la matriu $[a ij (x)]$ són reals i existix una base ortonormal de $ℝ n$ que consta de vectores propis. Denoten-se els valors propis per $λ i$ i els vectores propis corresponents per $v i$ , per a $i$ d'1 a $n$ . Llavors, l'equació diferencial, en el punt $x$ , es pot reformular com

\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} (u (x + t v_{i})) = 0.

L'essència del principi del màxim és la simple observació de que si cada valor propi és positiu (lo que equival a una certa formulació de elipticidad de l'equació diferencial), llavors l'equació anterior impon un cert equilibri de les segones derivades direccionals de la solució. En particular, si una de les segones derivades direccionals és negativa, llavors l'atra deu ser positiva. En un punt hipotètic a on $o$ s'maximizar, totes les segones derivades direccionals són automàticament no positives, i el equilibri representat per l'equació anterior requerix que totes les segones derivades direccionals siguen idénticamente zero.

Es podria argumentar que este raonament elemental representa una formulació infinitesimal del principi del màxim fort, que establix que, baixe alguns supòsits adicionals (com la continuïtat de $a$ ), $o$ deu ser constant si hi ha un punt de $M$ a on $o$ està maximizar.

Tinga's en conte que el raonament anterior no es veu afectat si es considera l'equació diferencial parcial més general

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{i} \partial x^{j}} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} = 0,

ya que el terme agregat és automàticament zero en qualsevol punt màxim hipotètic. El raonament tampoc es veu afectat si es considera la condició més general

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{i} \partial x^{j}} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \geq 0,

en el que inclús es pot notar el fenomen adicional de tindre una contradicció absoluta si hi ha una desigualtat estricta ( $>$ en lloc de $\geq$ ) en esta condició en el punt màxim hipotètic. Este fenomen és important en la prova formal del principi clàssic del màxim dèbil.

Inaplicabilidad del principi del màxim fort

No obstant, el raonament anterior ya no s'aplica si es considera la condició

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{i} \partial x^{j}} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \leq 0,

ya que ara la condició de equilibri, tal com s'evalua en un punt màxim hipotètic de $o$ , solament diu que un promig ponderat de cantitats manifestament no positives no és positiu. Açò és trivialmente cert, per lo que no es pot traure d'això cap conclusió que no siga trivial, lo que es reflectix en numerosos eixemples concrets, com el fet de que

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ({- x}^{2} - y^{2}) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} ({- x}^{2} - y^{2}) \leq 0,

i en qualsevol regió oberta que continga l'orige, la funció $(- x 2 - i 2)$ certament té un màxim.

Principi clàssic del màxim dèbil per a l'equacions en derivades parcials llineals elíptiques

Idea essencial

Siga $M$ un subconjunt obert de l'espai euclídeo. Si una funció suau $u : M \to ℝ$ s'maximizar en un punt $p$ , llavors automàticament es té que:

$(d u) (p) = 0$
$(\nabla^{2} u) (p) \leq 0,$ com a desigualtat matricial.

Es pot vore una equació diferencial parcial com l'imposició d'una relació algebraica entre les distintes derivades d'una funció. Llavors, si $o$ és la solució d'una equació diferencial parcial, llavors és possible que les condicions anteriors sobre la primera i la segona derivades de $o$ formen una contradicció en esta relació algebraica. Esta és l'essència del principi del màxim. Clarament, la aplicabilidad d'esta idea depén en gran mida de l'equació diferencial parcial particular en qüestió.

Per eixemple, si $o$ resol l'equació diferencial

Δ u = | d u |^{2} + 2,

llavors és clarament impossible tindre $Δ u \leq 0$ i $d u = 0$ en qualsevol punt sancer del domini. Llavors, seguint l'observació anterior, és impossible que $o$ prenga un valor màxim. Si, en canvi, $o$ resolguera l'equació diferencial $Δ u = | d u |^{2}$ llavors no es tindria tal contradicció, i l'anàlisis donat fins ara no implica res interessant. Si $o$ resolguera l'equació diferencial $Δ u = | d u |^{2} - 2,$ , llavors el mateix anàlisis mostraria que $o$ no pot prendre un valor mínim.

La possibilitat de tal anàlisis ni tan sols es llimita a equacions diferencials parcials. Per eixemple, si $u : M \to ℝ$ és una funció tal que

Δ u - | d u |^{4} = \int_{M} e^{u (x)} d x,

que és una espècie d'equació diferencial no local, llavors, la positividad estricta automàtica del costat dret de l'equació mostra, per mig del mateix anàlisis anterior, que $o$ no pot alcançar un valor màxim.

Existixen molts métodos per a ampliar la aplicabilidad d'este tipo d'anàlisis de diverses maneres. Per eixemple, si $o$ és una funció harmònica, llavors el tipo de contradicció anterior no es produïx directament, ya que l'existència d'un punt $p$ a on $Δ u (p) \leq 0$ no contradiu el requisit $Δ u = 0$ en tots els llocs. No obstant, es podria considerar, per a un número real arbitrari $s$ , la funció $o s$ definida per

u_{s} (x) = u (x) + s e^{x_{1}} .

És senzill vore que

Δ u_{s} = s e^{x_{1}} .

Segons l'anàlisis anterior, si $s > 0$ , llavors $o s$ no pot alcançar un valor màxim. Es podria considerar el llímit a $s$ com 0 per a concloure que $o$ tampoc pot alcançar un valor màxim. No obstant, és possible que el llímit puntual d'una seqüència de funcions sense màxims tinga un màxim. No obstant, si $M$ té un llímit tal que $M$ junt en el seu llímit és compacte, llavors suponent que $o$ es pot estendre contínuament fins al llímit, es deduïx immediatament que tant $o$ com $o s$ alcancen un valor màxim en $M \cup \partial M .$ . Ya que s'ha demostrat que $o s$ , com a funció en $M$ , no té un màxim, es deduïx que el punt màxim de $o s$ , per a qualsevol $s$ , està en $\partial M .$ . Per la compacidad seqüencial de $\partial M,$ es deduïx que el màxim de $o$ s'alcança en $\partial M .$ . Est és el principi del màxim dèbil per a funcions harmòniques. Açò, per sí solament, no descarta la possibilitat de que el màxim de $o$ també s'alcance en algun lloc de $M$ . Eixe és el contingut del principi del màxim fort, que requerix un anàlisis més profunt.

L'us de la funció específica $e^{x_{1}}$ anterior no és imprescindible. Lo únic que importava era dispondre d'una funció que s'estenguera contínuament fins al llímit i que el seu laplaciano fora estrictament positiu. En este sentit, es podria haver usat, per eixemple,

u_{s} (x) = u (x) + s | x |^{2}

en el mateix efecte.

Vore també

Referències

↑ Patrizia Pucci, J. B. Serrin (2007). The Maximum Principle, Springer Science & Business Media, pp. 1 de 236. ISBN 9783764381455.
↑ Cápitulo 32 de Rockafellar (1970).

Bibliografia

Artículs d'investigació

Calabi, E. An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry. Duke Math. J. 25 (1958), 45–56.
Cheng, S.Y.; Yau, S.T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), no. 3, 333–354.
Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Symmetry and related properties via the maximum principle. Comm. Math. Phys. 68 (1979), no. 3, 209–243.
Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Symmetry of positive solutions of nonlinear elliptic equations in $R n$ . Mathematical analysis and applications, Part A, pp. 369–402, Adv. in Math. Suppl. Stud., 7a, Academic Press, New York-London, 1981.
Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive curvature operator. J. Differential Geom. 24 (1986), no. 2, 153–179.
E. Hopf. Elementare Bemerkungen Über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Sitber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 19 (1927), 147-152.
Hopf, Eberhard. A remark on linear elliptic differential equations of second order. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 791–793.
Nirenberg, Louis. A strong maximum principle for parabolic equations. Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 167–177.
Omori, Hideki. Isometric immersions of Riemannian manifolds. J. Math. Soc. Jpn. 19 (1967), 205–214.
Yau, Shing Tung. Harmonic functions on complete Riemannian manifolds. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), 201–228.
Kreyberg, H. J. A. On the maximum principle of optimal control in economic processes, 1969 (Trondheim, NTH, Sosialøkonomisk institutt https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in-economic-processes/oclc/23714026)

Llibres de text

Caffarelli, Luis A. (1995). Fully Nonlinear Elliptic Equations, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 31–41. ISBN 0-8218-0437-5.
Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp. ISBN 978-0-8218-4974-3
Friedman, Avner. Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1964 xiv+347 pp.

Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN 3-540-41160-7
Ladyženskaja, O. A.; Solonnikov, V. A.; Uralʹceva, N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Translated from the Russian by S. Smith. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 23 American Mathematical Society, Providence, R.I. 1968 xi+648 pp.
Ladyzhenskaya, Olga A.; Ural'tseva, Nina N. Linear and quasilinear elliptic equations. Translated from the Russian by Scripta Technica, Inc. Translation editor: Leon Ehrenpreis. Academic Press, New York-London 1968 xviii+495 pp.
Lieberman, Gary M. Second order parabolic differential equations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. xii+439 pp. ISBN 981-02-2883-X
Morrey, Charles B., Jr. Multiple integrals in the calculus of variations. Reprint of the 1966 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2008. x+506 pp. ISBN 978-3-540-69915-6
Protter, Murray H.; Weinberger, Hans F. Maximum principles in differential equations. Corrected reprint of the 1967 original. Springer-Verlag, New York, 1984. x+261 pp. ISBN 0-387-96068-6
Smoller, Joel. Shock waves and reaction-diffusion equations. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fonamental Principles of Mathematical Sciences], 258. Springer-Verlag, New York, 1994. xxiv+632 pp. ISBN 0-387-94259-9

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Principio del máximo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[PPJBS-1] Patrizia Pucci, J. B. Serrin (2007). The Maximum Principle, Springer Science & Business Media, pp. 1 de 236. ISBN 9783764381455.

[2] Cápitulo 32 de Rockafellar (1970).

[1]

[2]