Principi del mínim de Pontriaguin

El Principi del mínim (màxim) de Pontriaguin s'utilisa en la teoria de control òptim per a trobar el millor control possible per a dur a un sistema dinàmic d'un estat a un atre, especialment en la presència de restriccions per als controls d'estat o d'entrada. Va ser formulat en 1956 pel matemàtic rus Lev Pontriaguin i els seus alumnes. Té com un cas especial l'equació de Euler-Lagrange del càlcul de variacions.

El principi establix de manera informal que el hamiltoniano deu minimisar-se (maximizar) sobre $𝒰$, el conjunt de tots els controls permissibles. Si $u^{*}\in 𝒰$ és el control òptim per al problema, llavors el principi establix que:

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),{\lambda }^{*}(t),t)\le H(x^{*}(t),u,{\lambda }^{*}(t),t),\mathrm{\forall }u\in 𝒰,t\in [t_0,t_f]$

a on $x^{*}\in C^1[t_0,t_f]$ és la trayectòria i l'estat òptim ${\lambda }^{*}\in BV[t_0,t_f]$ és l'òptim co-estat de la trayectòria.

El resultat primer es va aplicar en èxit en els problemes de temps mínims quan es veu llimitat el control d'entrada, pero també pot ser útil en l'estudi de problemes en restriccions d'estat.

Condicions especials per al hamiltoniano també es poden derivar. Quan el temps final $t_f$ és fix i el hamiltoniano no depén explícitament del temps $(\frac{\partial H}{\partial t}\equiv 0)$ , a continuació:

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),{\lambda }^{*}(t))\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

i si el temps final és lliure, llavors:

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),{\lambda }^{*}(t))\equiv 0.$

A continuació es donen les condicions més generals sobre el control òptim.

Una volta satisfet lo llarc d'una trayectòria, el principi de mínim de Pontryagin és una condició necessària per a un òptim. l'equació d'Hamilton-Jacobi-Bellman proporciona una condició necessària i suficient per a un grau òptim, pero esta condició deu ser satisfeta sobre la totalitat de l'espai d'estat.

Maximización i minimisació

El principi va ser conegut com a principi del màxim de Pontryagin i la seua prova es basa històricament en la maximización del hamiltoniano. L'aplicació inicial d'este principi va ser a la maximización de la velocitat terminal d'una eixida. No obstant, ya que es va utilisar posteriorment en la seua majoria per a la minimisació d'un índex de rendiment que ací s'ha denominat com el principi de mínima. El llibre de Pontryagin va resoldre el problema de minimisar un índex d'eficàcia.

Notació

En lo que seguix anem a fer us de la següent notació.

${\Psi }_T(x(T))=\frac{\partial \Psi (x)}{\partial T}{|}_{x=x(T)}$

${\Psi }_x(x(T))=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial \Psi (x)}{\partial x_1}{|}_{x=x(T)}& \cdots & \frac{\partial \Psi (x)}{\partial x_n}{|}_{x=x(T)}\end{array}\right]$

$H_x(x^{*},u^{*},{\lambda }^{*},t)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial H}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda ={\lambda }^{*}}& \cdots & \frac{\partial H}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda ={\lambda }^{*}}\end{array}\right]$

$L_x(x^{*},u^{*})=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial L}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}& \cdots & \frac{\partial L}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{array}\right]$

$f_x(x^{*},u^{*})=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}{|}_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{array}\right]$

Bibliografia Adicional

• V.G. Boltyanskii, R.V. Gamkrelidze. L.S. Pontryagin: Towards a theory of optimal processes, (Russian), Reports Acad. Sci. USSR, vol.110(1), 1956
• Pontryagin L.S, Boltyanskii V.G, Gamkrelidze R. V, Mishchenko E. F, The Mathematical Theory of Optimal Processes (Russian), English translation: Interscience 1962. ISBN 2-88124-077-1 and ISBN 978-2-88124-077-5
• Fuller A.T. Bibliography of Pontryagin's maximum principle, J. Electronics & Control vol.15 no.5 Nov. 1963 pp. 513–517
• Kirk, D.E. Optimal Control Theory, An Introduction, Prentice Hall, 1970. ISBN 0-486-43484-2
• Sethi, S. P. and Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics, 2nd edition, Springer, 2000. ISBN 0-387-28092-8 and ISBN 0-7923-8608-6. Slides llaure available at http://www.utdallas.edu/sethi/OPRE7320presentation.html
• Geering, H.P. Optimal Control with Engineering Applications, Springer, 2007. ISBN 978-3-540-69437-3
• Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.

• Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.