Càlcul de variacions

Càlcul de variacions

El càlcul de variacions o càlcul variacional és un problema matemàtic consistent en buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional. Constituïxen una generalisació del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.

Este problema d'optimisació (de dimensions infinites) en aplicacions en física teòrica i física matemàtica es va convertir en un camp especialisat a mitan de el XVIII, particularment per Leonhard Euler i Joseph-Louis Lagrange. El càlcul de variacions, els seus temes relacionats i les seues aplicacions són objecte de l'ensenyança actual, Desenroll posterior i investigació. La pregunta ¿Cóm es poden seguir desenrollant els métodos del càlcul de variacions? és el 23.º problema de la llista de problemes de Hilbert. Els matemàtics Ennio De Giorgi i Charles Morrey, entre uns atres, varen realisar atres contribucions. Les seues investigacions varen conduir a la solució del denové  problema de Hilbert en el repte ¿Són analítiques totes les solucions dels problemes variacionales regulars?. Els teoremes desenrollats per la matemàtica alemana Emmy Noether, relacionats en el càlcul de variacions, eixerciten un paper important en la física moderna (Simetria). La matemàtica nortamericana Karen Uhlenbeck va ser guardonada en el Premi Abel en 2019. Uhlenbeck ha treballat intensament en el càlcul de variacions.

Història

El càlcul de variacions es va desenrollar a partir del problema de la curva braquistócrona, plantejat inicialment per Johann Bernoulli (1696). Immediatament este problema va captar l'atenció de Jakob Bernoulli i el Marqués de L'Hôpital, encara que va ser Leonhard Euler el primer que va elaborar una teoria del càlcul variacional. Les contribucions de Euler es varen iniciar en 1733 en la seua Elementa Calculi Variationum ('Elements del càlcul de variacions') que dona nom a la disciplina.

Lagrange va contribuir extensament a la teoria i Legendre (1786) va assentar un método, no enterament satisfactori per a distinguir entre màxims i mínims. Isaac Newton i Gottfried Leibniz també varen prestar atenció a este assunt. Atres treballs destacats varen ser els de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) i Carl Jacobi (1837). Un treball general particularment important és el de Sarrus (1842) que va ser resumit per Cauchy (1844). Atres treballs destacats posteriors són els de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) i Carll (1885), encara que potser el més important dels treballs durant el XIX és el de Weierstrass. Este important treball va ser una referència estàndar i és el primer que tracta el càlcul de variacions sobre una base ferma i rigorosa. Els problema 20 i 23 de Hilbert plantejats en 1900 varen estimular alguns desenrolls posteriors. Durant el XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue i Jacques Hadamard, entre uns atres, varen fer contribucions notables. Marston Morse va aplicar el càlcul de variacions a lo que actualment es coneix com teoria de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar i Clarke varen desenrollar noves ferramentes matemàtiques dins de la teoria del control òptim, generalisant el càlcul de variacions.

Problema Isoperimétrico

Artícul principal → Isoperimetría.

¿Quin és l'àrea màxima A que pot rodejar-se en una curva de llongitut L donada? Si no existixen restriccions adicionals, la solució és:

que és el valor que s'obté per a un círcul de radi $R=L/2\pi$.

Si s'imponen restriccions adicionals la solució és diferent. Un eixemple és si suponem que L es considera sobre una funció $f(x)$ i els extrems de les curva estan sobre els punts $A=(a,0),B=(b,0)$ a on la distància entre ells està donada. És dir $AB=L$. El problema de trobar una curva que maximizar l'àrea entre ella i l'eix x seria, trobar una funció $f(x)$ de modo que:

en les restriccions:

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona es remonta a J. Bernoulli (1696). Es referix a trobar una curva en el pla cartesiano que vaja del punt $P=(x_0,y_0)$ a l'orige de modo que un punt material que s'esgola sense fricció sobre ella tarda el menor temps possible en anar de $P$ a l'orige. Usant principis de mecànica clàssica el problema pot formular-se com,

a on g és l'acceleració de la gravetat i les restriccions són, $f(0)=0$, $f(x_0)=y_0$. Cal notar que en $x=x_0$ existix una singularitat.

Extrems

El càlcul de variacions està relacionat en els màxims o mínims (colectivamente denominats extrems) dels funcionals. Un funcional mapea funcions en escalares, per lo que els funcionals es coneixen com "funcions de funcions." Els funcionals posseïxen extrems sobre els elements $y$ d'un donat espai de funció definit sobre un determinat domini. Es diu que un funcional $J[y]$ posseïx un extrem en la funció $f$ si $\Delta J=J[y]-J[f]$ posseïx el mateix signe per a tot $y$ en un entorn arbitrariamente chicotet de $f.$ La funció $f$ és denominada una funció extrema. L'extrem $J[f]$ és denominat un màxim local si $\Delta J\le 0$ en tot punt d'un entorn arbitrariamente chicotet de $f,$ i un mínim local si $\Delta J\ge 0$ allí.Un espai d'un espai de funcions contínues, els extrems dels funcionals corresponents són denominats extrem fort o extrem dèbil, depenent de si les primeres derivades de les funcions contínues són respectivament contínues o no.

Tant els extrems forts com els dèbils de les funcionals són per a un espai de funcions contínues, pero els extrems forts tenen el requisit adicional de que les primeres derivades de les funcions en l'espai siguen contínues. Per lo tant un extrem fort és també un extrem dèbil, pero la relació inversa no pot ser vàlida. Trobar extrems forts és més difícil que trobar extrems dèbils. Un eixemple de la condició necessària que s'utilisa per a trobar un extrem dèbil és l'equació de Euler–Lagrange.

Formulació general

Un dels problemes típics en càlcul diferencial és el de trobar el valor de $x$ per al qual la funció $f(x)$ alcança un valor extrem (màxim o mínim). En el càlcul de variacions el problema és trobar una funció $f(x)$ per a la qual un funcional $J[f]$ alcanç un valor extrem. El funcional $J[f]$ està compost per una integral que depén de $x$, de la funció $f(x)$ i algunes de les seues derivades.

A on la funció $f(x)$ pertany a algun espai de funcions (espai de Banach, espai de Hilbert), i tant ella com les seues derivades poden tindre restriccions. Esta fòrmula integral pot ser més complicada permetent a $x$ ser un vector, i per lo tant incloent derivades parcials per a $f$:

Espais funcionals

La fundamentación rigorosa del càlcul de variacions requerix considerar varietats diferencials llineals de dimensió infinita. De fet el punt de partida del càlcul de variacions és una teorema d'anàlisis funcional que prova que és possible considerar una curva en un espai funcional (i.g. trayectòria en l'espai fásico) simplement com una funció en una variable adicional, concretament:

La categoria formada per espais vectorials convenients i funcions suaus entre ells és tancada pel producte cartesiano, de tal manera que es té la següent biyección natural: a on $E,F$ són espais vectorials convenients i la biyección anterior és un difeomorfismo.

La teorema anterior pot aplicar-se per eixemple al principi de mínima acció a on tracta de trobar-se la trayectòria possible en l'espai de fases que fa mínima l'integral d'acció. Dita trayectòria és una curva suau en l'espai de trayectòries I, considerant ara:

Es té que el problema de minimisació pot reduir-se a minimisar una certa funció real f de variable real:

Extrems relatius dèbils i forts

Un problema variacional requerix que el funcional $J(f)$ estiga definit sobre un espai de Banach $(V,\Vert \cdot {\Vert }_V)$ adequat. La norma vectorial de dit espai és lo que permet definir rigorosament si una solució és un mínim o un màxim relatiu. Per eixemple una funció $f_0$ és un mínim relatiu si existix un cert $\delta >0$ tal que, per a tota funció $f$ es complixca que:

Vore també

• Charles Augustin de Coulomb
• Equacions de Euler-Lagrange
• Derivada funcional
• Mecànica de sols
• Teoria de Mohr-Coulomb
• Torsió mecànica

Bibliografia

• A. Kriegl i P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159-176.
• Leonida Tonelli: Fondamenti vaig donar calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
• Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861

• Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
• Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
• Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
• Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
• Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
• Hadamard J. i Fréchet, M. Leçons sur li calcul dones variations (francese) Hermann, 1910
• Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
• Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
• Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, Enciclopèdia del Novecento, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopèdia italiana Treccani
• Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, Enciclopèdia della Scienza i della Tecnica, (2007), Istituto dell'Enciclopèdia italiana Treccani

Enllaços externs

• Canvis acumulats d'esforços de Coulomb.