Problema matemàtic

Un problema matemàtic consistix en buscar una determinada entitat matemàtica d'entre un conjunt d'entitats del mateix tipo que ademés satisfaça les anomenades condicions del problema. Formalment tot problema pot reduir-se a una terna $(S, C (), r)$ a on $S$ és un conjunt d'objectes, $C (s)$ és una condició (o condicions) tal que dau $s \in S$ pugues o no ser satisfet (per a això la condició deu ser una fòrmula llògica ben formada i tancada). La resolució del problema és un procediment que determina com és l'únic $r \in S$ que satisfà $C (r)$ .

Alguns problemes clàssics com el de la quadratura del círcul o uns atres a on es tracta de decidir si una afirmació P és o no certa, poden reduir-se a la forma de terna si prenem com $S$ el conjunt de demostracions possibles i $C (X)$ com la condició de "X és una demostració vàlida de que l'afirmació del problema P és certa". Es diu que un problema no té solució quan $\forall r \in S : \neg C (r)$ (para tot $r$ dins del conjunt $r$ ,no és el cas que $C (r)$ o $r$ siga solució), és dir, $\neg \exists r \in S : C (r)$ .

Eixemples

Equació algebraica

Artícul principal → Teoria d'equacions.

Un eixemple senzill seria trobar els número entero que satisfan la següent igualtat $r^{2} - 2 r + 1 = 0$ . Ací el conjunt sobre el que es planteja el problema és conjunt dels número entero $ℤ$ , la condició és que es complixca l'anterior igualtat, i $r$ és l'únic número que la satisfà (pot vore's que $r$ = 1).

Més en general, la resolució d'una equació algebraica és un problema matemàtic plantejat sobre un conjunt $𝕂$ que té estructura de cos o anell algebraic consistent en buscar elements $r \in 𝕂$ que complixquen la següent igualtat:

C (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot x + a_{0} = 0

Si només existix un element que complixca l'anterior igualtat, açò es pot reformular com un problema del tipo $(𝕂, C (r) = 0, r)$ , encara que normalment el problema anterior admet més d'una solució per lo que el problema matemàtic pròpiament dit és trobar un conjunt de solucions $S$ , i per tant quan la solució no és única devem resoldre un problema de tipo $(𝒫 (𝕂), [\forall x \in S : C (x) = 0], S)$ , a on $𝒫 (𝕂)$ és el conjunt de les parts de $𝕂$

Problema geomètric elemental

Atres problemes consistixen en trobar un procediment geomètric per a traçar en regla i compàs un circumferència, àngul, polígon o recta que complixca certes condicions.

Un problema molt senzill és el de fixats 3 punts no alinealdos en el pla euclídeo, trobar una circumferència que passe per tots ells.

El problema matemàtic associat podria ser denotat com $(𝒞, {A, B, C} \subset C, C_{1})$ , a on $𝒞$ és el conjunt de tots els círculs possibles del pla euclídeo. El problema anterior es resol si es pren el segment $\overline{A B}$ i es troba la seua recta mediatriz M₁ i es pren el segment $\overline{B C}$ i es troba la seua recta mediatriz M₂

Archiu:Circunferencia 03.svg

Archiu:Circunferencia 04.svg

Archiu:Circunferencia 05.svg

el centre O de la circumferència buscada $C_{1}$ coincidix en l'intersecció de les mediatrices

Archiu:Circunferencia 06.svg

Archiu:Circunferencia 07.svg

Archiu:Circunferencia 08.svg

el radi de la circumferència buscada en la llongitut dels segementos que unixen el centre en qualsevol dels punts:

Archiu:Circunferencia 09.svg

Archiu:Circunferencia 10.svg

O = M_{1} \cap M_{2} R = | \overline{O A} | = | \overline{O B} | = | \overline{O C} |

En conéixer el centre de la circumferència i la seua ràdio, queda totalment determinada la solució al problema geomètric plantejat. Un atre eixemple és el problema de Apolonio.

Problema de càlcul elemental

Un tipo molt freqüent de problema matemàtic de càlcul elemental són els problemes d'maximización o minimisació. Per eixemple:

Archiu:Kreiszylinder.svg

Per a fabricar un recipients cilíndrics metàlics de chapa, trobar la relació entre l'altura: h i el radi: r necessària per a que puga contindre un volum V prefixat (per eixemple V = 400 ml) usant la menor cantitat de chapa possible.

Est és clarament un problema de minimisació posat que pretenem usar la mínima cantitat de chapa. El problema matemàtic seria $(r_{c i l, V = 400 m l}, m i n_{r} S (r), r)$ a on, $r_{c i l, V = 400 m l}$ és el conjunt teòric de tots els possibles recipients cilíndrics metàlics de 400 ml de capacitat; $S (r)$ és l'àrea del recipient en funció del radi $r$ del mateix. La solució es presenta a continuació.

Cridem S a la superfície total de chapa, que serà directament proporcional a la cantitat de chapa amprada en el recipient, cridem al radi del recipient r i a la seua altura h. Llavors tenim que la seua superfície: S i el seu volum: V vénen daus per:

{\begin{matrix} V = π r^{2} h \\ S = 2 π r h + 2 π r^{2} \end{matrix}

Si substituimos rebugem h de la primera equació i la substituimos en la segona tenim que la cantitat de chapa necessària per a construir un recipient cilíndric de volum V i ràdio r ve donada per:

S (R) = \frac{2 V}{r} + 2 π r^{2}

Per a trobar el mínim podem usar el càlcul elemental que nos diu que el valor de r per al qual la derivada de l'anterior funció s'anula és el valor que minimisa la funció:

\begin{matrix} \frac{d S (r)}{d r} = \frac{- 2 V}{r^{2}} + 4 π r \\ \frac{d S (r)}{d r} = 0 \end{matrix}} ⟶ 4 π r = \frac{2 V}{r^{2}} ⟶ 2 π r^{3} = V

En lo que queda definit r per a un V dau, si el volum no es coneix:

\begin{matrix} 2 π r^{3} = V \\ V = π r^{2} h \end{matrix}} ⟶ 2 π r^{3} = π r^{2} h ⟶ 2 r = h

És dir, que de tots els recipients cilíndrics de chapa d'igual volum el que menys chapa necessita per a ser fabricat és un en que l'altura del mateix siga just dos voltes el radi.

Problemes no algorítmics

Molts problemes pràctics poden resoldre's per mig d'algoritmes. Inclús existixen tècniques pràctiques per a buscar dits algoritmes com la resolució de problemes de programació. Pràcticament sempre els problemes didàctics que contenen els llibres de text per a estudiants de ciències, o els problemes pràctics d'ingenieria són problemes que admeten solució algorítmica.

No obstant, per a alguns atres problemes interessants ha pogut provar-se que no existix un algoritme que per mig d'un conjunt finito de passos trobe una solució (o alternativament mostre que el conjunt de solucions és buit). Alguns eixemples de problemes no algorítmics són:

La resolució de sistemes d'equacions diofánticas.
La equivalència topològica de varietats.
El problema de les paraules per a semigrupos.
El problema de la teselación del pla euclídeo.
El problema de la determinació i classificació completa de tots els grups simples finitos^[1]

Vore també

Anex:Problemes no resolts de la matemàtica

Referències

↑ Algebra Abstracta ISBN 0-201-64052-X

Bibliografia

George Pólya: How to Solve It, Princeton, 1945. ISBN 0-691-08097-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Problema matemático» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Algebra Abstracta ISBN 0-201-64052-X

[1]