Anar al contingut

Problema de Apolonio

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

Artícul bo

Archiu:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg
Quatre parelles de solucions complementàries del problema de Apolonio. Les tres circumferèncias donades són les de color negre.
Archiu:Apollonius solution 3B breathing2.gif
Animació a on es mostra la tangència que es preserva en els círculs es contraga o s'expandixca el seu ràdio en relació en cada una de les circumferèncias.

En geometria plana euclidiana, el problema de Apolonio consistix en trobar les circumferèncias tangentes a tres circumferències donades. Apolonio de Perge (circa 262 a. C.-circa 190 a. C.) va propondre i va resoldre este problema en l'obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, Tangència).[1][2] Encara que esta obra s'ha perdut, es conserva una referència a ella en un manuscrit redactat en el IV per Pape d'Aleixandria.[3] Les circumferències donades són de ràdio arbitrari, és dir, inclouen els casos extrems de radi nul (un punt) i de radi infinit (una recta), lo que proporciona fins a dèu tipos de problemes de Apolonio. Excloent a les famílies de posicions particulars que presenten infinites solucions, o cap, i a les famílies de posicions que, per simetria, tenen algunes solucions equivalents o prohibides, la resolució general del problema resulta en huit circumferències que són tangentes a les tres circumferències donades.

En el XVI, Adriaan van Roomen va resoldre el problema utilisant l'intersecció d'hipérbolas,[4] pero esta solució no es basa únicament en construccions en regla i compàs, per lo que pot considerar-se menys elegant.[5] François Viète va trobar una solució aprofitant la simplificació dels punts i rectes com a casos extrems de circumferències.[6] L'enfocament de Viète, que utilisa casos extrems senzills per a resoldre atres més complicats, es considera una reconstrucció plausible del método de Apolonio.[7] A la seua volta, Isaac Newton va simplificar el método de van Roomen i va mostrar que el problema de Apolonio és equivalent a trobar una posició coneixent les diferències de distàncies a tres punts coneguts.[8] Esta formulació té aplicacions en la navegació i en sistemes de posicionament com el LORAN —LOng RAnge Navigation, navegació de llarc alcanç—, i, per una atra part, s'han desenrollat generalisacions del problema per a atres superfícies diferents al pla, com pot ser la superfície esfèrica i unes atres superfícies cuádricas.[9]

Alguns matemàtics posteriors varen introduir métodos algebraics, que transformen el problema geomètric en una equació algebraica. A estos métodos se'ls va realisar una abstracció o simplificació, aprofitant les simetria inherents al problema de Apolonio: per eixemple, les circumferències resolutorias solen trobar-se en parelles; en una d'estes parelles, una circumferència solució conté les circumferències donades en el seu interior mentres que l'atra no les conté. Joseph Diaz Gergonne va aprofitar esta simetria desenrollant un elegant método per a trobar les solucions en regla i compàs,[9] mentres que atres matemàtics varen utilisar transformacions geomètriques com la reflexió en una circumferència —per a que esta s'utilise deu haver simetria del problema— per a simplificar la disposició de les circumferències donades. Estos desenrolls oferixen una representació geomètrica a través de métodos algebraics (utilisant la geometria de l'esfera de Lie, introduïda pel noruec Sophus Lie) i una classificació de solucions per a les trentatrés disposicions essencialment diferents possibles en la posició inicial de les tres circumferències.


El problema de Apolonio ha impulsat molta investigació adicional. S'han estudiat generalisacions en tres dimensions —la construcció d'una esfera tangente a quatre esferes donades— i en dimensions superiors. La disposició de tres circumferències tangentes entre elles ha rebut una atenció especial. René Descartes va donar una fòrmula que relaciona els radis de les circumferèncias donades i els de les circumferències resolutorias, que es coneix actualment com teorema de Descartes. En este cas, la resolució iterativa del problema de Apolonio du a la formació d'un dels primers fractalés descoberts i dibuixats, el tamís de Apolonio, important en teoria de números, concretament en els círculs de Ford i en el método del círcul de Hardy-Littlewood.[1]

La seua aplicació principal és determinar una posició a partir de les diferències entre les distàncies de, a lo manco, tres punts coneguts per mig de la trilateración hiperbòlica, utilisada en navegació i en els sistemes globals de navegació per satèlit com el GPS. Atres aplicacions inclouen els còdics de correcció d'errors utilisats en els discs DVD, aixina com desenrolls en farmacologia.

Enunciat del problema

[editar | editar còdic]

L'enunciat original del problema de Apolonio demana la construcció d'una o més circumferèncias que siguen tangentes a tres objectes donats. Els objectes poden ser rectes, punts o circumferències de qualsevol tamany.[6][10][11] Estos objectes poden ser colocats en qualsevol disposició i es poden tallar uns a uns atres; no obstant, se solen prendre diferents, és dir, que no coincidixquen. Les solucions del problema a voltes es diuen «circumferències de Apolonio», encara que este terme també s'usa per a atres tipos de circumferències associades en Apolonio.

Archiu:Apollonius problem typical solution.svg
Una solució (en púrpura) del problema de Apolonio. Les circumferències donades es mostren en negre.

L'enunciat fa us de la propietat de tangència; esta es definix a continuació. Per hipòtesis, s'assumix que un punt, recta o circumferència és tangente a sí mateixa, per lo que si una circumferència donada ya és tangente als atres dos objectes, es conta com a solució del problema de Apolonio. Es diu que dos objectes geomètrics diferents intersecan si tenen un punt en comú. Per definició, un punt és tangente a una circumferència o una recta si la interseca, és dir, si se situa sobre la mateixa, aixina, dos punts diferents no poden ser tangentes. Si l'àngul entre rectes o circumferències en el punt d'intersecció és zero, es diu que són tangentes, el punt d'intersecció es diu punt de tangència (la paraula «tangente» deriva del participi de present llatí tangens, que significa «tocante»). En la pràctica, dos circumferències distintes són tangentes si es intersecan en un sol punt, si es intersecan en dos punts o no es intersecan, llavors no són tangentes. Açò mateixa és vàlit per a una recta i una circumferència. Dos rectes diferents no poden ser tangentes en el pla, encara que en geometria inversiva dos rectes paraleles es poden considerar tangentes en un punt en l'infinit.[12][13]

La circumferència solució deu ser interna o externament tangente a cada una de les circumferències donades. Una tangència externa és aquella en la que les dos circumferències es curven cap a sentits oposts en el punt d'intersecció, se situen en els costats oposts de la recta tangente en eixe punt, i s'exclouen mútuament. La distància entre els seus centres és igual a la suma dels radis. Pel contrari, una tangència interna és aquella en la que les dos circumferències es curven cap al mateix sentit en el punt d'intersecció corresponent; les dos circumferències se situen en el mateix costat de la recta tangente, i una de les dos inclou l'atra. En este cas, la distància entre els seus centres és igual a la diferència dels radis. En l'ilustració a la dreta, la circumferència solució (en color púrpura) és tangente internament a la circumferència negra donada de tamany mig situada a la dreta, mentres que és tangente externament a les circumferències donades més chicoteta i més gran situades a l'esquerra.


Alternativament, el problema de Apolonio també es pot formular com el problema de trobar un o més punts tals que les diferències de les seues distàncies a tres punts donats siguen iguals a tres valors coneguts. Per a vore l'equivalència en l'enunciat anterior, siga considerada una circumferència solució de ràdio rs i tres circumferències donades de ràdios r1, r2, r3. Si la circumferència solució és tangente externament a les tres circumferències donades, llavors les distàncies entre el centre de la circumferència solució i els centres de les circumferències donades són: d1 = r1 + rs, d2 = r2 + rs i d3 = r3 + rs, respectivament. Per tant, les diferències entre estes distàncies són constants, és dir, d1 − d2 = r1 − r2; depenen només dels radis coneguts de les circumferències donades i no del radi rs de la circumferència solució, que s'anula. Este segon plantejament del problema de Apolonio es pot generalisar a les circumferències solució tangentes internament (per a les que la distància centre-centre és igual a la diferència dels radis) canviant les corresponents diferències de distàncies per sumes de distàncies, de modo que el radi de la circumferència solució rs es torna a anular. La reformulación en térmens distancies centre-centre és útil en les resolucions d'Adriaan van Roomen i Isaac Newton que es mostren més avall, i també en el posicionament hiperbòlic o trilateración, que consistix en localisar una posició a partir de les diferències entre les distàncies a tres punts coneguts. Per eixemple, els sistemes de navegació com el LORAN identifiquen la posició d'un receptor a partir de les diferències en el temps d'arribada de les senyals emeses des de tres posicions fixes, que corresponen a les diferències en les distàncies als transmissors.

Història

[editar | editar còdic]
Archiu:PappusBook.jpg
Portada de Mathematicae Collectiones de Pape d'Aleixandria, a on va recopilar l'informació sobre els métodos utilisats per Apolonio per a resoldre el problema. Els coneiximents sobre este enigma geomètric han segut possibles gràcies a l'obra d'este escritor.[3]

S'ha desenrollat un ric repertori de métodos geomètrics i algebraics per a resoldre el problema de Apolonio.[1][2] L'enfocament original d'Apolonio de Perge s'ha perdut, pero François Viète i uns atres ho varen reconstruir basant-se en les pistes de la descripció de Pape d'Aleixandria.[3]

No obstant, este últim no va ser l'únic que va poder recopilar informació sobre esta temàtica, puix també va haver científics àraps que varen fer grans reconstrucció entorn a l'obra de Apolonio.[14] El primer nou método de resolució es va publicar en 1596, per obra d'Adriaan van Roomen, que va identificar els centres de les circumferències solució com punts d'intersecció de dos hipérbolas.[4][5] En 1687 Isaac Newton va millorar el método de Van Roomen en el seu Principia,[8][15] i també John Casey en 1881.[16]

A pesar de l'èxit en la resolució del problema de Apolonio, el método de van Roomen té una desventaja. Una propietat molt apreciada en la geometria euclidiana clàssica és la possibilitat de resoldre problemes utilisant solament construccions en regla i compàs.[17] Moltes construccions, com dividir un àngul en tres parts iguals, són impossibles utilisant solament estes ferramentes. No obstant, molts d'estos problemes «impossibles» es poden resoldre utilisant l'intersecció de curves com les hipérboles, les elipses i les paràboles (seccions còniques). Per eixemple, la duplicació del gaveta (el problema que planteja la construcció d'una gaveta en el doble de volum d'una gaveta donada) no es pot resoldre utilisant solament regla i compàs, pero Menecmo va mostrar que el problema pot resoldre's utilisant l'intersecció de dos paràboles.[18] Per tant, la resolució de van Roomen —que utilisa l'intersecció de dos hipérboles— no determina si el problema satisfà la propietat de poder ser resolt per mig de construccions en regla i compàs.

Archiu:Francois Viete.jpg
François Viète, destacat matemàtic francés que va treballar exhaustivament en el problema de Apolonio, va desenrollar un método que precisa únicament l'us de construccions en regla i compàs.[7]

François Viète, que va anar precisament el primer en convéncer al seu amic Van Roomen per a treballar en el problema de Apolonio, va desenrollar un método que precisa solament l'us de construccions en regla i compàs.[7] Abans del método de resolució de Viète, Regiomontanus dubtava de la possibilitat de resolució del problema de Apolonio en regla i compàs.[19] Viète va resoldre en primer lloc alguns casos especials senzills del problema d'Apolonio, com trobar una circumferència que passe per tres punts donats, que solament té una solució si els punts són diferents, formulant solucions per a casos especials més complicats, en alguns d'estos casos per mig de la reducció o l'ampliació de les circumferències donades.[6] Segons la descripció de Pape d'Aleixandria en el IV, el propi llibre de Apolonio sobre este problema —titulat Ἐπαφαί (Epaphaí, «Tangència»; en llatí: De tactionibus, De contactibus)— seguia una aproximació progressiva similar.[3] Per tant, la resolució de Viète es considera una reconstrucció plausible de la resolució de Apolonio, encara que també s'han publicat atres reconstrucció fetes independentment per tres autors més.[20]


Durant el XIX es varen desenrollar vàries resolucions geomètriques del problema de Apolonio. Les més notables són les de Jean-Victor Poncelet (1811)[21] i Joseph Diaz Gergonne (1814).[9] Mentres que la resolució de Poncelet es basa en l'us de centres de homotecia de circumferències i en la teorema de la potència d'un punt, el método de Gergonne aprofita la relació conjugada entre les rectes i els seus pols en una circumferència. En 1879 Julius Petersen va desenrollar per primera volta métodos que utilisen l'inversió de la circumferència;[22] un eixemple és el método de solució anular d'Harold Scott MacDonald Coxeter.[10] Una atra aproximació utilisa la geometria de l'esfera de Lie, desenrollada per Sophus Lie.

René Descartes i Isabel de Hervorden es varen convertir en els primers en proporcionar resolucions algebraiques, encara que els métodos que utilisaven eren prou complexos.[1] A finals de el XVIII i durant el XIX, es varen desenrollar atres métodos algebraics més pràctics per part de molts matemàtics, incloent Leonhard Euler,[23] Nicolas Fuss,[1] Carl Friedrich Gauss,[24] Lazare Carnot,[25] i Augustin Louis Cauchy.[26]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Althiller-Court N.(1961).The Mathematics Teacher.54
    444–452.
  2. ↑ 2,0 2,1 Filmore (2003). The Apollonius Contact Problem and Representational Geometry (en Inglés), Iowa, Estats Units, pp. 12.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Pappus (1876). F Hultsch (ed.). Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, 3 volums edició (en llatí).
  4. ↑ 4,0 4,1 van Roomen A. (1596). Problema Apolloniacum quo datis tribus circulis, quaeritur quartus eos contingens, antea a…Francisco Vieta…omnibus mathematicis…ad construendum propositum, jam vero per Belgam…constructum (en llatí), Würzburg: Typis Georgii Fleischmanni.
  5. ↑ 5,0 5,1 Newton I. (1974). DT Whiteside (ed.). The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691 (en anglés), Cambridge: Cambridge University Press, p. 164. ISBN 0-521-08719-8.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 Dörrie H. (1965). «The Tangency Problem of Apollonius», 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions (en Anglés), New York: Dover, pp. 154–160 (§32).
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 Viète F. (1600). «Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria», Frans van Schooten (ed.). Francisci Vietae Opera mathematica (en llatí), ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum), pp. 325–346.
  8. ↑ 8,0 8,1 Newton I (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (en llatí), Book I, Section IV, Lemma 16.
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 Gergonne J.Ann. Math. Pures appl..4
  10. ↑ 10,0 10,1 Coxeter H.S.M.The American Mathematical Monthly.75(1)
    5–15.ISSN 00029890.doi:10.2307/2315097.
  11. ↑ Coolidge Jl. (1916). A Treatise on the Circle and the Sphere (en Anglés), Oxford: Clarendon Press, pp. 167–172.
  12. ↑ Coxeter, H.S.M. (1969). "Fonaments de Geometria", 2nd edició (en Anglés), New York: Limusa Wiley. ISBN 8460487261.
  13. ↑ Shively, Levi. (2007). Introducció a la Geometria Moderna (en Anglés), New York: John Wiley & Sons, pp. 95.
  14. ↑ (2003).Iowa, Estats Units:
  15. ↑ Newton I. (1974). DT Whiteside (ed.). The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691 (en anglés), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 162–165, 238–241. ISBN 0-521-08719-8.
  16. ↑ Casey J (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid (en Anglés), Hodges, Figgis & co., p. 122. ISBN 978-1418166090.
  17. ↑ Courant R., Robbins H. (1943). What is Mathematics? An Elementary Approach to Idees and Methods (en Anglés), London: Oxford University Press, pp. 125–127, 161–162. ISBN 0195105192.
  18. ↑ Bold B. (1982). Famous problems of geometry and how to solve them (en anglés), Dover Publications, pp. 29–30. ISBN 0486242978.
  19. ↑ Boyer C.B., Merzbach U.C. (1991). «Apollonius of Perga», A History of Mathematics, 2nd edició (en anglés), John Wiley & Sons, Inc., p. 322. ISBN 0-471-54397-7.
  20. ↑ Simson R (1734) Mathematical Collection, volum VII, p. 117.
    Zeuthen H.G. (1886). Die Lehre von donen Kegelschnitten im Altertum (en alemà), Copenhagen: Unknown, pp. 381–383.
    Heath T.L.. A History of Greek Mathematics, Volume II: From Aristarchus to Diophantus (en anglés), Oxford: Clarendon Press, pp. 182–185.
  21. ↑ Poncelet J.V.(1811).Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique.2(3)
    271–273.
  22. ↑ Petersen J. (1879). Methods and Theories for the Solution of Problems of Geometrical Constructions, Applied to 410 Problems (en anglés), London: Sampson Low, Marston, Searle & Rivington, pp. 94–95 (Example 403).
  23. ↑ Euler L.(1790).Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae.6
    95–101. Reimpreso en Euler's Opera Omnia, série 1, volum 26, pp. 270–275.
  24. ↑ Gauss C.F. (1873). Werke, 4. Band, reprinted in 1973 by Georg Olms Verlag (Hildesheim) edició (en alemà), Göttingen: Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, pp. 399–400. ISBN 3-487-04636-9.
  25. ↑ Carnot L. (1801). De la corrélation dans els figures de géométrie (en francés), Paris: Unknown publisher, pp. No. 158–159. (en francés)
    Carnot L. (1803). Géométrie de position, Pariu: Unknown publisher, pp. 390, §334. (en francés)
  26. ↑ Cauchy A.L.(1806).Correspondance sur l'École Polytechnique.1(6)
    193–195.

Bibliografia

[editar | editar còdic]
  • Boyd D.W.(1973).Canadian J. Math..25
303–322.
  • Callandreau, Édouard (1949). Célèbres problèmes mathématiques (en francés), Paris: Albin Michel, pp. 219–226. OCLC 61042170.
  • Camerer J.G. (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos llibres Graece nunc primum edita, i codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani història (en llatí), Gothae: Ettinger.
  • Gisch D, Ribando J.M.(2004).American Journal of Undergraduate Research.3
15–25.Consultat el 1 d'agost de 2010.
  • (2004).Suma.1(46)
59-70.ISSN 1130-488X.Consultat el 1 de novembre de 2010.
  • Pappus, Alexandrinus (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (en francés), Paris. OCLC 67245614. Traduc., introd., i anotacions per Paul Vore Eecke.
  • Simon M. (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (en alemà), Berlin: Teubner, pp. 97–105.
  • Wells D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (en anglés), New York: Penguin Books, pp. 3–5. ISBN 0-14-011813-6.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Problema_de_Apolonio&oldid=852296»