Circumferència de Apolonio

Erro al crear miniatura:

Figura 1: definició d'una circumferència segons les condicions de Apolonio

Figura 2: un conjunt de circumferències de Apolonio. Cada circumferència de color blau es interseca en cada circumferència roja en un àngul recte, i viceversa. Cada circumferència roja passa a través de dos focs, que es corresponen en els punts A i B de la Figura 1

La circumferència de Apolonio és un famós problema sobre llocs geomètrics: daus dos punts A i B, es tracta de determinar el lloc geomètric dels punts del pla P que complixen: PA/PB = r, sent r una constant.

En el cas r = 1 és fàcil comprovar que el lloc geomètric descrit pel punt P és la recta mediatriz del segment determinat per a i B.

En el cas general (r distint d'1) el lloc geomètric és una circumferència de radi "k", el centre del qual està sobre el segment AB. Esta circumferència es coneix en el nom de circumferència de Apolonio dels punts A i B per a la raó r.

Ademés, es complix que $r^2=OA\cdot OB$, sent r el radi de la circumferència de Apolonio de centre O; lo que significa que els punts A i B són inversos respecte de la circumferència de Apolonio. Per això els punts A, B i els dos punts M i N que s'obtenen com a intersecció de la circumferència de Apolonio en la recta determinada per a i B constituïxen una cuaterna harmònica.

Demostració 1

a) Considere's un punt P, no alineat en A i B, que complixca la propietat. Si es considera el triàngul APB, se sap per la teorema de les bisectrices que si M i N són els punts en els que les bisectrices, interna i externa, de l'àngul P tallen a la recta AB, es complix que r = AP/PB = AM/MB = AN/BN. Resulta aixina que per a qualsevol punt P els punts M i N són fixos i, ademés, per ser MP i PN bisectrices, l'àngul <MPN és recte. Per això P està sobre la circumferència de diàmetro MN.

b) S'observa que tot punt P pertanyent a la circumferència de diàmetro MN, a on AM/MB = AN/BN = r, complix que: AP/PB = r. La recta simètrica de PA respecte a PM curta a la recta AB en B', sent PM i PN les bisectrices de <APB' (PM per la construcció realisada, i PN per ser perpendicular a PM). Per la teorema de la bisectriz se sap que AP/PB' = AM/MB' = AN/B'N. De l'última igualtat, tenint en conte que AM/MB = AN/BN = r, es deduïx que B' = B. D'ací resulta que AP/PB = r

Demostració 2

Erro al crear miniatura:

El problema de Apolonio pot tindre fins a huit solucions. Els tres círculs es mostren en negre, i la solució en colors

La demostració consta de dos parts: a) si P complix la propietat està sobre la circumferència mencionada, b) si P és un punt de dita circumferència complix la propietat PA/PB = r.

a) Considere's un punt P que complixca la propietat del lloc geomètric i que no estiga alineat en A i B (PA/PB = r). Es dibuixa la circumferència que conté a A, B i P. Per P es traça la recta tangente a dita circumferència obtenint el punt O com a intersecció de la tangente en la recta determinada per a i B. Es pot observar que l'àngul <PAB, inscrit en la circumferència, i l'àngul semiinscrito <BPO són iguals (comprenen el mateix arc de circumferència). D'ací es deduïx que els triànguls APO i BPO són semblants, ya que tenen un àngul comú (<O), els ànguls <PAB i <BPO coincidixen i tenen un costat comú: PO. Per això :

OA/OP = OP/OB = AP/PB = r. Multiplicant els dos primers membres de les igualtats anteriors s'obté que: (OA/OP)(OP/OB) = r², és dir: OA/OB = r². Com O és exterior al segment AB resulta que O és un punt fix de la recta AB, independent de P. També es té que OA · OB és constant. Si es denomina OA · OB per k2 (OA · OB = k2), llavors: OP2= k2, per lo que P està sobre la circumferència de centre O i ràdio k. (Observació: el cas de P alineat en A i B té dos possibilitats que s'estudien directament respecte al punt O obtingut, i es comprova que també estan sobre la circumferència de Apolonio).

b) Suponga's ara que un punt P es troba situat sobre la circumferència de centre O i complix que OP2 = OA · OB. D'ací s'obté que OP/OB = OA/OP. De la proporcionalitat anterior i de l'igualtat de l'àngul en O es deduïx que els triànguls OAP i OBP són semblants. Per això: OP/OB = OA/OP = PA/PB = r. S'observa que r és un valor constant que no depén del punt P de la circumferència. Multiplicant els primers membres de les igualtats resulta que (OP/OB)(OA/OP) = r², OA/OB = r². Com O, A i B són fixos també ho és r² i per tant també "r".

Vore també

• Problema de Apolonio
• Anex:Fractales per dimensió de Hausdorff

Bibliografia

• "Geometria Mètrica" de Puig Adam
• "Geometry, a comprehensive course", de Donen Pedoe. Ed. Dover