Pape d'Aleixandria

Archiu:PappusBook.jpg

Pape d'Aleixandria

Pape d'Aleixandria (com epónimo Pappus, en grec Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς) (c. 290 – c. 350) va ser un dels últims grans matemàtics grecs de l'Antiguetat, conegut per la seua obra Synagoge (c. 340). A penes se sap res de la seua vida, llevat que va ser mestre en Aleixandria i que va tindre un germà cridat Hermodoro.

El seu Synagoge (Colecció) és la seua obra més coneguda. És un compendio de matemàtiques de huit volums. Tracta d'una gran varietat de problemes de geometria, matemàtica recreativa, duplicació de la gaveta, polígons i poliedres.

Pape va viure en la primera mitat del sigle IV. La seua figura descolla de l'estancament general de la matemàtica de la seua época.

"Tan per damunt estava dels seus contemporàneus, la seua llabor va ser tan poc entesa, que no hi ha referències sobre ell en atres escritors grecs; i per tant la seua obra no va tindre cap efecte en detindre la decadència de la matemàtica. En este aspecte el destí de Pape s'assembla llamativamente al de Diofanto.

La Synagoge va ser traduïda al llatí en 1588 per Federico Commandino. L'historiador de la matemàtica i clasicista Friedrich Hultsch va publicar en 1878 la versió definitiva en grec i llatí de Papus. Paul Vore Eecke, historiador belga, va traduir l'obra el francés en 1933.

En geometria, se li atribuïxen vàries teoremes, coneguts tots en el nom genèric de «Teorema de Pape» (o «Teorema de Pappus»). Entre estos estan:

• Teorema del centroide de Pape,
• Teorema harmònica de Pape,
• Teorema de l'hexàgon de Pape.

També va investigar una figura geomètrica consistent en un anell de círculs traçat entre dos círculs tangentes entre sí. Esta figura es coneix com la cadena de Pape.

Obres

La gran obra de Papos, en huit llibres i titulada Synagoge o Colecció, no ha sobrevixcut completa: el primer llibre s'ha perdut, i el restant ha sofrit prou. El Sua enumera atres obres de Pappus: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorographia oikoumenike o Descripció del món habitat), comentari als quatre llibres del Almagesto de Ptolomeo, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ' (Els rius de Líbia), i Ὀνειροκριτικά (L'interpretació dels somis). El propi Pape menciona un atre comentari seu sobre el Ἀνάλημμα (Analemma) de Diodoro d'Aleixandria. Pappus també va escriure comentaris als Elements de Euclides en Elements' (dels que es conserven fragments en Proclus i en els Scholia, mentres que el del Llibre dècim s'ha trobat en un manuscrit àrap), i a la Ἁρμονικά de Ptolomeo (Harmonika).

Federico Commandino va traduir la Colecció de Pappus al llatí en 1588. El clasicista i historiador matemàtic alemà Friedrich Hultsch (1833-1908) va publicar una presentació definitiva en tres volums de la traducció de Commandino en les versions grega i llatina (Berlín, 1875-1878). A partir de l'obra de Hultsch, l'historiador matemàtic belga Paul vore Eecke va ser el primer en publicar una traducció de la Colecció a una llengua europea moderna; la seua traducció al francés en 2 volums es titula Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (París i Bruixes, 1933).

Colecció

Les característiques de la Colecció de Pape són que conté una relació, ordenada sistemàticament, dels resultats més importants obtinguts pels seus predecessors i, en segon lloc, notes explicatives o d'ampliació dels descobriments anteriors. Estos descobriments formen, de fet, un text sobre el que Pape s'estén discursivamente. Heath considerava valioses les introduccions sistemàtiques als distints llibres, ya que exponen clarament un esquema del contingut i l'alcanç general dels temes a tractar. A partir d'estes introduccions es pot jujar l'estil de l'escritura de Pape, que és excelent i inclús elegant en el moment en que es llibera dels grilletes de les fòrmules i expressions matemàtiques. Heath també va trobar que la seua exactitut característica feya de la seua Colecció "un substitut molt admirable dels texts dels molts i valiosos tractats de matemàtics anteriors dels que el temps nos ha privat".

Les parts que es conserven de la Colecció poden resumir-se de la següent manera.

Només podem conjeturar que el perdut Llibre I, de la mateixa manera que el Llibre II, s'ocupava de l'aritmètica, introduint-se clarament el Llibre III com a inici d'una nova matèria.

Tot el Llibre II (la primera part del qual s'ha perdut, el fragment existent comença a mitan de la proposició 14) discutix un método de multiplicació d'un llibre sense nom d'Apolonio de Perga. Les proposicions finals tracten de multiplicar junts els valors numèrics de les lletres gregues en dos llínees de poesia, produint dos números molt grans aproximadament iguals a 2x10⁵⁴ i 2x10³⁸.

El Llibre III conté problemes geomètrics, plans i sòlits. Pot dividir-se en cinc seccions:

1. Sobre el famós problema de trobar dos proporcionals miges entre dos llínees donades, que va sorgir del de duplicar la gaveta, reduït per Hipócrates de Quíos a la primera. Pape dona vàries solucions d'este problema, incloent un método de fer aproximacions successives a la solució, l'importància de la qual aparentment no va apreciar; afig la seua pròpia solució del problema més general de trobar geomètricament el costat d'una gaveta el contingut de la qual està en qualsevol proporció en el d'un dau.
2. Sobre els mijos aritmètics, geomètrics i harmònics entre dos rectes, i el problema de representar els tres en una mateixa figura geomètrica. Açò servix com a introducció a una teoria general dels mijos, dels quals Pape distinguix dèu tipos, i dona una taula que representa eixemples de cada u en número entero.
3. Sobre un curiós problema sugerit per Euclides I. 21.

1. Sobre l'inscripció de cada u dels cinc poliedres regulars en una esfera. Ací Pape va observar que un dodecaedre regular i un icosaedre regular podien inscriure's en la mateixa esfera de manera que els seus vèrtiços estigueren tots en els mateixos 4 círculs de latitut, en 3 dels 12 vèrtiços de l'icosaedre en cada círcul, i 5 dels 20 vèrtiços del dodecaedre en cada círcul. Esta observació s'ha generalisat als politopos duals de major dimensió.
2. Un afegitó d'un escritor posterior sobre una atra solució del primer problema del llibre.

Del Llibre IV s'han perdut el títul i el prefacio, per #lo que el programa té que ser arreplegat del propi llibre. Al principi està la coneguda generalisació de Euclides I.47 (teorema de l'àrea de Pape), després seguixen vàries teoremes sobre el círcul, que conduïxen al problema de la construcció d'un círcul que circumscriga tres círculs donats, que es toquen dos i dos. Esta i vàries atres proposicions sobre el contacte, per eixemple, els casos de círculs que es toquen entre sí i que s'inscriuen en la figura feta de tres semicírculs i coneguda com arbelos ("gavinet de sabater") formen la primera divisió del llibre; Pape pansa després a considerar certes propietats de la espiral de Arquímedes, la conchoide de Nicomedes (ya mencionada en el Llibre I com a método per a duplicar la gaveta), i la curva descoberta molt provablement per Hipias de Elis cap al 420 a. C., i coneguda en el nom de τετραγωνισμός, o cuadratriz. La proposició 30 descriu la construcció d'una curva de doble curvatura anomenada per Pape l'hèliç sobre una esfera; està descrita per un punt que es mou uniformemente a lo llarc de l'arc d'un gran círcul, que a la seua volta gira sobre el seu diàmetro uniformemente, descrivint el punt un quadrant i el gran círcul una revolució completa en el mateix temps. Es troba l'àrea de la superfície inclosa entre esta curva i la seua base, el primer cas conegut de quadratura d'una superfície curva. El restant del llibre tracta de la trisecció d'un àngul, i de la solució de problemes més generals del mateix tipo per mig de la quadratura i l'espiral. En una de les solucions del primer problema es troba el primer us registrat de la propietat d'una cònica (una hipérbola) en referència al foc i la directriu.

En el Llibre V, despuix d'un interessant prefacio relatiu als polígons regulars, i que conté observacions sobre la forma hexagonal de les celes dels panales, Pape es dedica a la comparació de les àrees de diferents figures planes que tenen totes el mateix perímetro (seguint el tractat de Zenodoro sobre este tema), i dels volums de diferents figures sòlides que tenen totes la mateixa àrea superficial, i, per últim, una comparació dels cinc sòlits regulars de Platón. Incidentalmente, Pape descriu els atres tretze poliedres llimitats per polígons equiláteros i equiangulares, pero no similars, descoberts per Arquímedes, i troba, per un método que recorda al de Arquímedes, la superfície i el volum d'una esfera.

Segons el prefacio, el Llibre VI està destinat a resoldre les dificultats que es presenten en les anomenades Obres astronòmiques menors (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), és dir, les obres distintes del Almagesto. En conseqüència, comenta la Sphaerica de Teodosio, la Esfera mòvil d'Autólico, el llibre de Teodosio sobre El dia i la nit, el tractat d'Aristarco Sobre el tamany i les distàncies del Sol i la Lluna, i Òptica i Fenomens de Euclides.

Llibre VII

Des de que Michel Chasles va citar este llibre de Pape en la seua història dels métodos geomètrics, s'ha convertit en objecte de considerable atenció.

El prefacio del Llibre VII explica els térmens anàlisis i #síntesis, i la distinció entre teorema i problema. A continuació, Pape enumera les obres d'Euclides, Apolonio, Aristeo i Eratóstenes, trentatrés llibres en total, la substància del qual pretén donar, en els lemes necessaris per al seu elucidación. En la menció dels Porismos de Euclides tenim un relat de la relació del porismo en la teorema i el problema. En el mateix prefacio s'inclou (a) el famós problema conegut en el nom de Pape, a sovint enunciat aixina: Donada una série de rectes, trobar el lloc geomètric d'un punt tal que les llongituts de les perpendicular a, o (més generalment) les rectes traçades des d'ell oblicuamente en inclinaments donats a, les rectes donades satisfacen la condició de que el producte d'algunes d'elles puga guardar una relació constant en el producte de les restants; (Pape no ho expressa en esta forma, sino per mig de la composició de raons, dient que si es dona la raó que es compon de les raons dels parells un d'un conjunt i un d'un atre de les llínees aixina traçades, i de la raó de l'impar, si ho hi ha, a una recta donada, el punt estarà en una curva donada en posició); (b) les teoremes que varen ser redescubiertos per Paul Guldin i nomenats despuix, pero que semblen haver segut descoberts pel propi Pape.

El llibre VII també conté

1. baixe el títul del De Sectione Determinata de Apolonio, lemes que, examinats de prop, es veuen com a casos de l'involució de sis punts;
2. importants lemes sobre els Porismos de Euclides, incloent la cridada teorema de l'hexàgon de Pape;
3. un lema sobre els Loci de superfície de Euclides que afirma que el lloc d'un punt tal que la seua distància a un punt donat guarda una relació constant en la seua distància a una recta donada és una cònica, i va seguit de proves de que la cònica és una paràbola, una elipse o una hipérbola segons la relació constant siga igual, menor o major que 1 (les primeres proves registrades de les propietats, que no apareixen en Apolonio).

La cita de Chasles de Pape va ser repetida per Wilhelm Blaschke i Dirk Struik. En Cambridge, Anglaterra, John J. Milne va donar als llectors el benefici de la seua llectura de Pape. En 1985 Alexander Jones va escriure la seua tesis en la Brown University sobre el tema. Una forma revisada de la seua traducció i comentari va ser publicada per Springer-Verlag a l'any següent. Jones conseguix mostrar cóm Pape va manipular el quadrilàter complet, va utilisar la relació de conjugats harmònics proyectivos i va mostrar una consciència de relació creuada de punts i llínees. Ademés, el concepte de pol i polar es revela com un lema en el Llibre VII.

Llibre VIII

Per últim, el Llibre VIII tracta principalment la mecànica, les propietats del centre de gravetat i algunes potències mecàniques. Es intercalan algunes proposicions sobre geometria pura. La proposició 14 mostra cóm dibuixar una elipse a través de cinc punts donats, i la proposició 15 dona una construcció senzilla per als eixos d'una elipse quan es dona un parell de diàmetros conjugats.

Bibliografia

• Plantilla:Cite EB1911
• Jones, Alexander (1986a). «part 1: introduction, text, translation», Book 7 of the Collection, Springer-Verlag. ISBN 0-387-96257-3.
  • Jones, Alexander (1986b). «part 2: commentary, index, figures», Book 7 of the Collection, Springer-Verlag. ISBN 3-540-96257-3.
• Milne, John J. (1911). An Elementary Treatise on Cross-Ràtio Geometry with Historical Notes, Cambridge University Press, p. 11.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teoremes de Pape.
• Biografia de Pape en MacTutor; en anglés.
  • Traducció a l'espanyol.
• ^{[enllaç trencat]}, en francés, en el lloc de Philippe Remacle (1944 - 2011).
• Pape en el sitie de la Bibliotheca Augustana (Augsburc).