Cadena de Pappus

Erro al crear miniatura:

Una cadena de Pappus

En geometria, la cadena Pappus és un anell de círculs entre dos círculs tangentes. Va ser investigada per Pappus d'Aleixandria en el III.

Construcció

Un arbelos està definit per dos círculs, C_O i C_V, que són tangentes en el punt A i a on C_O està contingut per C_V. Denoten-se els radis d'estos dos círculs com a r_O i r_V, respectivament, i que els seus centres siguen els punts O i V. La cadena de Pappus consistix en els círculs en la regió grisa sombreada, que són tangentes externament a C_O (el círcul intern) i tangentes internament a C_V (el círcul extern). El radi, el diàmetro i el centre del n^ésimo círcul de la cadena Pappus es denoten respectivament com a r_n, d_n i P_n.

Propietats

Centres dels círculs

Elipse

Tots els centres dels círculs en la cadena de Pappus estan ubicats en una elipse comuna, per la següent raó. La suma de les distàncies des del n^ésimo círcul de la cadena de Pappus als dos centres O i V dels círculs del arbelos, és igual a una constant

$\overline{{𝐏}_n𝐔}+\overline{{𝐏}_n𝐕}=(r_U+r_n)+(r_V-r_n)=r_U+r_V$

Aixina, els focs d'esta elipse són O i V, els centres dels dos círculs que definixen el arbelos; estos punts corresponen als punts mijos dels segments de llínea AB i AC, respectivament.

Coordenades

Si r = AC/AB, llavors el centre del n^ésimo círcul de la cadena és:

$(x_n,y_n)=(\frac{r(1+r)}{2[n^2(1-r{)}^2+r]},\frac{nr(1-r)}{n^2(1-r{)}^2+r})$

Radis dels círculs

Si r = AC/AB, llavors el radi del n^ésimo círcul de la cadena és:

$r_n=\frac{(1-r)r}{2[n^2(1-r{)}^2+r]}$

Inversió circular

Archiu:Pappus Chain Theorem.svg

Baix una inversió particular centrada en A, els quatre círculs inicials de la cadena de Pappus es transformen en una pila de quatre círculs d'igual tamany, intercalados entre dos llínees paraleles. Açò explica la fòrmula de l'altura h_n = n d_n i el fet de que els punts de tangència originals es troben en un círcul comú

L'altura h _n del centre del n^ésimo círcul per damunt del diàmetro de la base ACB és igual a n voltes d_n. Açò pot mostrar-se realisant una inversió en un círcul centrat en el punt tangente A. La circumferència d'inversió s'elegix per a creuar-se en el n^ésimo círcul perpendicularmente, de modo que es transforme en sí mateixa. Els dos círculs del arbelos, C_T i C_V, es transformen en llínees paraleles tangentes a i que orlan al n^ésimo círcul; per lo tant, els atres círculs de la cadena de Pappus es transformen en círculs del mateix diàmetro. El círcul inicial C₀ i el círcul final C_n contribuïxen cada u ½ d_n a l'altura h_n, mentres que els círculs des de C₁–C_n−1 contribuïxen cada u d_n. Sumant estes contribucions s'obté l'equació h_n = n d_n .

La mateixa inversió es pot utilisar per a mostrar que els punts a on els círculs de la cadena de Pappus són tangentes entre sí es troben en un círcul comú. Com es va senyalar anteriorment, l'inversió centrada en el punt A transforma els círculs del arbelos C_O i C_V en dos llínees paraleles, i els círculs de la cadena de Pappus en una pila de círculs d'igual tamany intercalados entre les dos llínees paraleles. Per lo tant, els punts de tangència entre els círculs transformats es troben en una llínea a mig camí entre les dos llínees paraleles. En desfer l'inversió en el círcul, esta llínea de punts tangentes es transforma novament en un círcul.

Cadena de Steiner

En estes propietats de tindre els centres en una elipse i les tangència en un círcul, la cadena de Pappus és anàloga a la cadena de Steiner, en la que varis círculs són tangentes a dos círculs.

Bibliografia

• Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry, Dover, pp. 54–55. ISBN 0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). The Mathematical Gardner, Boston: Prindle, Weber, & Schmidt, pp. 112–118.
• Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, reprint of 1929 edition by Houghton Miflin edició, New York: Dover Publications, pp. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, pp. 5–6. ISBN 0-14-011813-6.