Cuadratriz
En matemàtiques, una cuadratriz (de la paraula llatina quadrator, cuadrador) és una curva que les seues ordenadas donen una mida de l'àrea (o quadratura) d'una atra curva. Les dos curves més famoses d'esta classe són les de Dinóstrato i la d'E. W. Tschirnhaus, abdós relacionades en el círcul.
Cuadratriz de Dinóstrato
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Cuadratriz de Hipias.
La cuadratriz de Dinóstrato (també cridada "cuadratriz de Hipias") era ben coneguda pels geómetras de l'antiga Grècia, i és mencionada per Proclo, qui atribuïx l'invenció de la curva a un contemporàneu de Sócrates, provablement Hipias de Élide. Dinóstrato, un geómetra grec i discípul de Platón, va discutir la curva i va mostrar cóm permetia obtindre una solució mecànica de la quadratura del círcul. Papus, en les seues Coleccions, tracta el seu historial i dona dos métodos per a generar-la:
- Dibuixar una hèliç en un cilindre circular recte; i després generar la superfície d'un tornell dibuixant llínees des de cada punt d'esta espiral perpendicularment a l'eix del cilindre. La proyecció d'una secció d'esta superfície sobre un pla que conté una de les perpendicular i inclinat cap a l'eix és la cuadratriz.
- Un cilindre recte que té com a base una espiral de Arquímedes és tallat per un con circular recte en la llínea generadora del cilindre passant pel punt inicial de l'espiral com a eix. Des de cada punt de la curva d'intersecció d'abdós superfícies, es dibuixen perpendicular a l'eix. Qualsevol secció plana de la superfície del tornell (plectoidal de Papus) aixina obtinguda és la cuadratriz.
Una atra construcció és la següent: DAB és un quadrant circular en el que la llínea DA i l'arc DB es dividixen en el mateix número de parts iguals. Els radis es dibuixen des del centre del quadrant fins als punts de divisió de l'arc, i estos radis són intersectados per les llínees traçades paraleles a AB i a través dels punts corresponents en el radi DA. El lloc d'estes interseccions és la cuadratriz.
Siga A l'orige del sistema de coordenades cartesianas, D el punt (a, 0), situat a a unitats des de l'orige en l'eix x, i siga B el punt (0, a), a unitats des de l'orige en l'eix i, la curva en sí es pot expressar per mig de l'equació[1]
Degut a que la funció cotangente és invariante sobre el signe del seu argument i presenta un pol simple en cada múltiple de π, la cuadratriz posseïx simetria respecte a l'eix i, i de manera similar presenta un pol per a cada valor de x de la forma x = 2na, per a valors sancers de n, llevat en x = 0 a on el pol en la cotangente es cancela pel factor de x en la fòrmula per a la cuadratriz. Estos pols dividixen la curva en una part central flanquejada per infinites branques. El punt a on la curva creua l'eix i té el valor i = 2a/π; per lo tant, si fora possible generar la curva en precisió, es podria construir un segment rectilíneo la llongitut del qual siga un múltiple racional d'1/π, lo que conduiria a una solució del problema clàssic de la quadratura del círcul. Ya que açò és impossible en regla i compàs, la cuadratriz a la seua volta no es pot construir en un compàs i una regla no graduada. Una construcció precisa de la cuadrícula també permetria la solució d'atres dos problemes clàssics que se sap que són impossibles en regla i compàs, la duplicació de la gaveta i la trisecció de l'àngul.
Cuadratriz de Tschirnhaus
[editar | editar còdic]
i la cuadratriz de Hipias (punteada)
La cuadratriz de Tschirnhaus[2] es construïx dividint l'arc i el radi d'un quadrant en el mateix número de parts iguals. Les interseccions mútues de les llínees paraleles a DA traçades des dels punts de divisió de l'arc, i les llínees traçades paraleles a AB a través dels punts de divisió de DA, són els punts de la cuadrícula. L'equació cartesiana és . La curva és periòdica i talla l'eix x en els punts , sent un número entero; i el valor dels màxims de és . Les seues propietats són similars a les de la cuadratriz de Dinóstrato.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Plantilla:Springer
- ↑ Vore definició i dibuix en la següent font en llínea: Hutton C. (1815). A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors, (vol. 2), London, pp. 271-272.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Cuadratriz» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.