Cuadratriz de Hipias

Archiu:Quadratrix no anim.svg	Archiu:Quadratrix animation.gif
Image fixa: Punt S de la cuadratriz (color roig), en el moment que I i F han completat el 60% dels seus moviments

La cuadratriz o trisectriz de Hipias (també cridada cuadratriz de Dinóstrato) és una curva que es crea per mig d'un moviment uniforme. És un dels eixemples més antics d'una curva cinemàtica, creada a través del moviment. El seu descobriment s'atribuïx al sofista grec Hipias de Élide, qui la va usar al voltant de l'any 420 a. C. per a determinar la trisecció d'un àngul (d'ahí el nom de trisectriz). Posteriorment, al voltant de l'any 350 a. C., Dinóstrato la va usar per a intentar quadrar el círcul (d'ahí el nom de cuadratriz).

Definició

Archiu:Quadratrixkurve.svg

Cuadratriz com una curva plana (a=1)

Archiu:Quadratrixfunktion.svg

Cuadratriz com una funció (a=1)

Considere's un quadrat ABCD en un quarto de círcul inscrit centrat en A, de modo que el costat del quadrat siga el radi del círcul. Siga I un punt que es desplaça en una velocitat constant en el quarto de círcul de D a B, i siga F un punt que es desplaça en una velocitat constant de D a A sobre el segment Plantilla:Overline, de tal manera que F i I comencen el moviment en D en el mateix moment. Ademés I aplega a B al mateix temps que F aplega a A. Llavors, la cuadratriz es definix com el lloc geomètric de l'intersecció de la paralela a Plantilla:Overline traçada pel punt F, que per tant es va traslladant en el moviment de F, en el segment Plantilla:Overline, que igualment va girant al voltant del centre A segons es trasllada el punt E.

Si es coloca dit quadrat ABCD en llongitut de costat a en el primer quadrant d'un sistema de coordenades cartesianas en el costat Plantilla:Overline en l'eix x i el vèrtiç A en l'orige, llavors la cuadratriz es descriu per mig d'una curva plana $\gamma :(0,\frac{\pi }{2}]\to {ℝ}^2$ en:

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2a}{\pi }t\cot (t)\\ \frac{2a}{\pi }t\end{array}\right)$

Si el domini de $x(t)$ i $y(t)$ s'estén per a incloure la recta real completa (llevat els punts a on $cot(t)$ és infinit), estes equacions descriuen una família de curves. El domini de $x(t)$ pot ampliar-se encara més per a incloure t=0 perque $\underset{t\to 0}{\lim }(t\cot (t))=1$. Si es definix $x(0)=1$, la curva és contínua per a $(-\pi <t<\pi )$.

Per a descriure la cuadratriz com una funció simple en lloc de com una curva plana, és ventajós canviar l'eix i i l'eix x, és dir, colocar el costat Plantilla:Overline en l'eix i en lloc d'en l'eix x. Llavors la cuadratriz ve donada per la següent funció:

$f(x)=x\cdot \cot (\frac{\pi }{2a}\cdot x)$

Trisecció angular

Archiu:Mechanical Quadratrix or Quadratrixzirkel.svg

Compàs per a dibuixar una cuadratriz

Archiu:Angle trisection quadratix hippias.svg

Trisecció d'un àngul

La trisecció d'un àngul arbitrari usant sol regla i compàs és impossible. No obstant, si es permet utilisar la cuadratriz com una ferramenta adicional, és possible dividir un àngul arbitrari en n segments iguals, i per lo tant, és possible efectuar una trisecció (per a n = 3). En térmens pràctics, la cuadratriz es pot dibuixar en l'ajuda d'una plantilla o un compàs cuadratriz (vore el dibuix).

Ya que, segons la definició de la cuadratriz, l'àngul travessat és proporcional al segment travessat del costat dels quadrats associats que dividix eixe segment del costat en n partixes iguals, análogamente produïx una partició de l'àngul associat també. I dividir el segment en n partixes iguals en regla i compàs és possible com es comprova el teorema de Tals.

Per a un àngul donat BAE ( ≤ 90°) construïxca's un quadrat ABCD sobre un dels seus costats Plantilla:Overline. L'atre tram de l'àngul interseca la cuadratriz del quadrat en un punt G i la llínea paralela al tram Plantilla:Overline a través de G creua el costat Plantilla:Overline del quadrat en F. Ara el segment Plantilla:Overline correspon a l'àngul BAE i per la definició de la cuadratriz qualsevol divisió del segment Plantilla:Overline en n partixes equidistants produïx una divisió corresponent de l'àngul BAE en n partixes d'igual tamany. Per a dividir el segment Plantilla:Overline en n partixes equidistants, procedixca's de la següent manera. Dibuixe's un raig a en orige en A i després dibuixen-se n segments equidistants (de llongitut arbitrària) sobre ell. Conecte's el punt final O de l'últim segment en F i dibuixar llínees paraleles a Plantilla:Overline a través de tots els punts finals dels n − 1 segments restants en Plantilla:Overline. Estes llínees paraleles dividixen el segment Plantilla:Overline en Plantilla:Overline en n segments equidistants. Ara, dibuixen-se rectes paraleles a Plantilla:Overline a través dels punts finals d'eixos segments en Plantilla:Overline. Estes llínees paraleles intersecarán a la trisectriz. En conectar eixos punts d'intersecció en A s'obté una partició de l'àngul BAE en n partixes d'igual tamany.

Com no tots els punts del trisectriz poden construir-se solament en regla i compàs, és realment necessari com una ferramenta adicional junt a estes anteriorment nomenades. No obstant, és possible construir un subconjunt dens de la trisectriz en regla i compàs, per lo que si ben no pot assegurar-se una divisió exacta d'un àngul en n partixes sense una trisectrix donada, pot construir una aproximació arbitrariamente propenca d'esta manera.