Trilateración

Archiu:Trilateration.svg

Estant en B, volem conéixer la seua posició relativa als punts de referència P1, P2, i P3 en un pla bidimensional. En medir r1 es reduïx la nostra posició a una circumferència. A continuació, medint r2, la reduïm a dos punts, A i B. Una tercera medició, r3, nos torna les nostres coordenades en B. Una quarta medició també pot fer-se per a reduir i estimar l'error.

La trilateración és un método matemàtic per a determinar les posicions relatives d'objectes usant la geometria de triànguls de forma anàloga a la triangulació. A diferència d'esta, que usa mides d'àngul (junt en a lo manco una distància coneguda per a calcular la localisació del subjecte), la trilateración usa les localisacions conegudes de dos o més punts de referència, i la distància medida entre el subjecte i cada punt de referència. Per a determinar de forma única i precisa la localisació relativa d'un punt en un pla bidimensional usant sol trilateración, es necessiten generalment a lo manco 3 punts de referència.

Derivació

Pot trobar-se una deducció de la solució del problema de trilateración tridimensional prenent les fòrmules de tres esferas i igualant-les. Per a fer açò, devem aplicar tres llimitacions als centres d'estes esferes; totes deuen estar en el pla z=0, una atra deu estar en l'orige, i una tercera en l'eix x. És possible, no obstant, traslladar qualsevol conjunt de tres punts per a complir en estos llímits, trobar el punt solució, i després invertir la translació per a trobar el punt solució en el sistema de coordenades original.

Escomencem en tres esferes,

$r_1^2=x^2+y^2+z^2$,

$r_2^2=(x-d{)}^2+y^2+z^2,$

i

$r_3^2=(x-i{)}^2+(y-j{)}^2+z^2$,

Restem la segona a la primera i resolem per a x:

$x=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2d}$.

En substituir açò en la fòrmula de la primera esfera es produïx la fòrmula d'un círcul, la solució a l'intersecció de les dos primeres esferes:

$y^2+z^2=r_1^2-\frac{(r_1^2-r_2^2+d^2{)}^2}{4d^2}$.

Igualant esta fòrmula a la fòrmula de la tercera esfera, tenim:

$y=\frac{r_1^2-r_3^2-x^2+(x-i{)}^2+j^2}{2j}=\frac{r_1^2-r_3^2+i^2+j^2}{2j}-\frac{i}{j}x$.

Ara que tenim les coordenades x i i del punt solució, podem simplement rebujar z de la fòrmula de la primera esfera:

$z=\sqrt{r_1^2-x^2-y^2}$

Ara tenim la solució per als tres punts x, i i z. Ya que z s'expressa en forma de raïl quadrada, és possible que el problema tinga per solució zero, un o dos resultats.

Archiu:Trilateración.svg

Animació del procés geomètric realisat per a determinar la posició d'un punt per mig de trilateración
Es necessita navegador que soporte SVG animats per mig de SMIL.

Esta última part pot visualisar-se com prendre el círcul format per l'intersecció de la primera i segona esferes i creant després la seua intersecció en la tercera. Si eixe círcul queda totalment fòra de l'esfera, z és igual a la raïl quadrada d'un número negatiu: no existix una solució real. Si eixe círcul toca l'esfera en exactament un punt, z és igual a zero. Si, per últim, el círcul toca la superfície de l'esfera en dos punts, llavors z és igual a més menys la raïl quadrada d'un número positiu.

En el cas de no haver solució, no poc provable quan les senyes presenten soroll, la solució més aproximada és zero. Un deu ser cuidadós, no obstant, de fer una prova de control (sanity check en anglés) i assumir el valor de zero solament quan l'error és apropiadament menut.

En el cas de dos solucions, poden usar-se algunes tècniques per a desambiguar entre les dos. Açò pot fer-se matemàticament, per mig de l'us d'una quarta esfera en el seu centre localisat fòra del pla format pels centres de les atres tres, i determinant qué punt cau més propenc a la superfície d'esta esfera. O pot fer-se llògicament —per eixemple, el GPS assumix que el punt que cau dins de l'òrbita dels satèlits és el correcte quan s'enfronta a esta ambigüitat, ya que és generalment segur assumir que l'usuari no està mai en l'espai, fòra de les òrbites dels satèlits.

Model d'error

Quan l'error de mida s'introduïx en el dibuix, les coses es compliquen una miqueta. Si sabem que la distància des de P a un punt de referència cau en un ranc (un interval tancat) [r₁, r₂], llavors sabem que P cau en una banda circular entre els círculs en eixos dos ràdios. Si coneixem un ranc per a un atre punt, podem prendre l'intersecció, que constituirà una o dos àrees delimitades per arcs circulares. Un tercer punt normalment l'estretirà a una sola àrea, pero esta àrea pot ser encara de tamany significatiu; punts de referència adicionals poden ajudar a disminuir-la encara més, pero a mida que esta disminuïx més mides perdran utilitat. En tres dimensions, estem en el seu lloc interseccionando cascarones esfèrics en gruixa, similars a boles de jugar a les birles.

Este nou model emfatisa l'importància d'elegir tres punts que estiguen en direccions molt diferents —si els punts estan relativament prop uns d'uns atres i a la seua volta llunt del punt a localisar, es requeriran mides molt precises per a trobar el punt usant trilateración.