Teorema de Noether

Archiu:Noether theorem 1st page.png

Primera pàgina de l'artícul d'Emmy Noether «Invariante Variationsprobleme» (1918), a on va demostrar la seua teorema

La teorema de Noether és un resultat central en física teòrica. Expressa que qualsevol simetria diferenciable, provinent d'un sistema físic, té el seu corresponent llei de conservació. La teorema es denomina aixina per la matemàtica Emmy Noether, que ho va formular en 1916. Ademés de permetre aplicacions físiques pràctiques, esta teorema constituïx una explicació de per qué existixen lleis de conservació i magnituts astronòmiques físiques que no canvien a lo llarc de l'evolució temporal d'un sistema físic.

Explicació

La teorema de Noether relaciona un parell d'idees bàsiques de la física: (1) una és la invariancia de la forma que una llei física pren sobre qualsevol transformació (generalisada) que preserve el sistema de coordenades (aspectes espacials i temporals presos en consideració), i l'atra és (2) la llei de conservació d'una magnitut física.

Informalmente, la teorema de Noether es pot establir com: A cada simetria (contínua) li correspon una llei de conservació i viceversa. L'enunciat formal de la teorema deriva una expressió per a la magnitut física que es conserva (i, per lo tant, també la definix) de la condició d'invariancia solament. Per eixemple:

• la invariancia sobre la (direcció de l'eix de) rotació dona la llei de conservació del moment angular.
• la invariancia de sistemes físics sobre la translació (dit simplement, les lleis de la física no varien en la localisació en l'espai) dona la llei de conservació del moment llineal.
• la invariancia sobre (la translació en) el temps dona la llei de conservació de l'energia.

En pujar a la teoria quàntica de camps, la invariancia sobre la transformació general de gauge dona la llei de la conservació de la càrrega elèctrica, etcétera. Aixina, el resultat és una contribució molt important a la física en general, puix ajuda a proporcionar intuïcions de gran alcanç en qualsevol teoria general en física, en només analisar les diverses transformacions que farien invariantes la forma de les lleis implicades.

Rotacions i moment angular

Quan el lagrangiano d'un sistema físic presenta simetria rotacional, és dir, existix un grup de transformacions isomorfo a un subgrup unidimensional del grup de rotacions o grup especial ortogonal, llavors existix una magnitut física conservada cridada moment angular que té un valor constant a lo llarc de l'evolució temporal. És dir, dita magnitut no canvia de valor a mida que el sistema evoluciona, raó per la qual dita magnitut es diu constant del moviment o magnitut conservada.

Translacions i moment llineal

Análogamente si el lagrangiano d'un sistema físic és invariante baix cert grup uniparamétrico de translacions llavors existix una component del moment llineal paralela a dites translacions que no varia en el temps, a mida que el sistema evoluciona. És dir, a pesar de que l'estat de moviment d'una partícula o l'estat físic del sistema varie, dita magnitut física sempre manté el mateix valor, per complicada que siga l'evolució del sistema.

Invariancia temporal i energia

De modo similar al cas anterior, l'independència del temps del lagrangiano, pot ser vista com una invariancia front a "translacions temporals". En este cas la magnitut conservada és el Hamiltoniano o l'integral de Jacobi-Painlevé. En un sistema natural si el lagrangiano no depén explícitament del temps es té que l'energia es conserva. És dir, en qualsevol evolució temporal del sistema l'energia no canvia de valor.

Esbós de demostració

Per a un sistema en un número finito de graus de llibertat i usant la representació en coordenades suponga's que es té un grup uniparamétrico G que transforma les coordenades o variables dinàmiques, deixant el lagrangiano invariante, en eixe cas:

A on el grup s'ha parametrizado en el paràmetro real $G=\{g_{\alpha }|\alpha \in A\subset ℝ\}$ llavors:

Amprant les equacions de Euler-Lagrange, el primer terme pot reescriure's:

Per tant, l'última cantitat en forma de sumatorio és una constant del moviment ya que la seua derivada temporal és zero. Els atres casos de la teorema de Noether en essència repetixen els mateixos passos, expressant la derivada de l'acció del grup i construint una funció que involucra als moments conjugats i elements d'un espai vectorial isomorfo a l'àlgebra de Lie del grup de simetria.

Invariancia gauge i càrrega

En el context de la teoria quàntica de camps l'existència d'una simetria gauge abstracta del lagrangiano que descriu l'interacció electromagnètica implica que existix una magnitut conservada que pot identificar-se en la càrrega elèctrica, ya que el grup de simetria gauge del camp electromagnètic és el grup unitari O(1) la magnitut conservada és un escalar.

Análogamente, encara que llaugerament més complicat, és el cas de l'interacció dèbil i l'interacció forta, els grups de la qual de simetria gauge són SU(2) i SU(3), que no són conmutativos i duen a la conservació de la càrrega de sabor i la càrrega de color.

Tractament formal en física clàssica

Suponga's que es té un conjunt tancat R de dimensió d i una varietat blanc o codominio $\Gamma$ . Siga ${𝒞}_{\Gamma }$ l'espai de totes les funcions diferenciables de R a $\Gamma$. Per a aclarir idees particularicemos estes idees en dos àmbits diferents:

• En mecànica clàssica, R és un interval tancat de $ℝ$ que representa el temps i la varietat blanc és el fibrado tangente de l'espai de posicions o espai de configuració.
• En la teoria clàssica de camps, R és una regió del espai-temps i la varietat blanc és el conjunt de valors que els camps poden prendre en qualsevol punt donat. Per eixemple, si hi ha m camps escalares real-valorats, φ₁...,φ_m, llavors la varietat blanc podria ser $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)$, dotada de l'estructura topològica adequada.

Per a provar la teorema considerarem el segon d'estos casos (el resultat per a sistemes de partícules clàssiques es pot provar particularizando la demostració esbossada ací).

Pas 1: funcional d'acció

Per a això, en estar tractant un sistema físic existirà un funcional d'acció que descriu el sistema. Matemàticament este funcional resulta ser una aplicació del tipo:

Per a conseguir la versió usual de la teorema de Noether, es necessiten restriccions adicionals en l'acció física. Se supon que $S[{\varphi }^K]$ és l'integral sobre R del lagrangiano del sistema físic:

Este lagrangiano depén de les variables del camp ${\varphi }^K$ (sent K un conjunt d'índexs tensoriales o d'un atre tipo, segons el tipo de camp), els seus derivadas ${\partial }_{\mu }{\varphi }^K$ i la posició en R. És dir ${\varphi }^K\in {𝒞}_{\Gamma }$:

Suponent donades condiciones de contorn, que són bàsicament una especificació del valor de ${\varphi }^K$ en el vora de R si és compacta, o un cert llímit en ${\varphi }^K$ quan x s'acosta a ∞, que permetrà fer l'integració per parts). Podem denotar per ${ℛ}_{\Gamma }$ el subconjunt de ${𝒞}_{\Gamma }$ que consistix en les funcions ${\varphi }^K$ tals que totes les derivades funcionals de S en ${\varphi }^K$ són zero i ${\varphi }^K$ satisfà les condicions de contorn donades.

Pas 2: funcional d'acció

Ara, suponga que tenim una transformació infinitesimal sobre $𝒞$, donada per la derivada funcional, δ tal que:

per a totes les subvariedades compactes R. Llavors, diem que δ és un generador d'un grup de Lie uniparamétrico. Ara, per a qualsevol N, pel teorema de Euler-Lagrange, tenim:

Pas 3: Corrent conservada

ya que l'última expressió és certa per a qualsevol R, tenim:

Es pot reconéixer immediatament açò com l'equació de continuïtat per a la corrent

que es diu la corrent de Noether associada a la simetria. L'equació de continuïtat diu que si s'integra esta corrent sobre una "rebanada" (hipersuperficie) de tipo espai, es conseguix una magnitut conservada anomenada la càrrega de Noether (suponent, per supost, que si R és no compacte, les corrents decauen suficientment ràpit en l'infinit).