Integral de moviment

Una integral del moviment o constant del moviment d'un problema mecànic és una funció de la posició i les velocitats (o equivalentemente de les coordenades generalisades i les seues moments conjugats) que és constant a lo llarc d'una trayectòria del sistema a lo llarc de les fases.

En la teoria d'equacions diferencials ordinàries es generalisa el concepte al de integral primera. Una integral primera depén de les variables de l'equació diferencial i les seues derivades i resulta constant quan s'introduïx en ella la dependència respecte a el "temps" o variable depenent.

Definició i eixemples

Tècnicament una integral del moviment és una expressió analítica $C(x_i,y_i)$ tal que si se substituïxen en ella les variables per l'expressió temporal de les coordenades generalisades i les velocitats generalisades (alternativament els moments conjugats) són constants:

A continuació es presenten algunes integrals de moviment per a sistemes físics d'interés com l'oscilador harmònic i el problema de Kepler, en les seues versions newtonianas. Una condició adicional és que la funció no pot ser trivial, és dir:

De lo contrari en mecànica clàssica coses com la densitat, o les dimensions d'un sòlit rígit contabilisarien com a integrals de moviment, quan només són paràmetros constants.

Oscilador harmònic

l'oscilador harmònic unidimensional és un sistema mecànic que el seu lagrangiano i que la seua equació de moviment vénen dau per:

Pot vore's que este sistema té dos integrals de moviment donades per:

Per a vore-ho basta considerar la derivada total respecte al temps i substituir en elles les equacions del moviment:

Problema de Kepler

Artícul principal → Problema dels dos cossos.

En el problema de dos cossos somesos a la seua mútua atracció gravitatoria, conegut com a problema de Kepler o problema dels dos cossos, existixen vàries cantitats conservades independents del temps, l'energia $E_m$, les tres components del moment angular $𝐋$ i les tres components del vector de Runge-Lenz $𝐀$ (i combinacions d'estes constants entre sí). No obstant, pot provar-se que no existixen més de 5 integrals del moviment que no depenguen explícitament del temps i que siguen funcionalment independents, de fet existixen les següents relacions entre les sèt cantitats conservades mencionades:

Utilitat de les integrals de moviment

En general, el coneiximent d'una integral de moviment permet reduir la dimensió d'un sistema d'equacions diferencials que descriuen el moviment d'un sistema mecànic. Análogamente permeten reduir un sistema d'equacions diferencials ordinàries a un atre sistema equivalent més menut.

Per a que esta reducció puga ser realment útil és necessari que l'integral de moviment siga una funció algebraica de la posició i els moments. Si l'integral resulta ser una funció transcendent de les variables mecàniques la reducció no pot portar-se a terme.

Sistemes conservativos unidimensionals

Un eixemple de l'utilitat de les integrals ho constituïxen els sistemes hamiltonianos conservativos d'un grau de llibertat. En estos sistemes el principi de conservació de l'energia implica que el hamiltoniano és una integral de moviment que és funció algebraica de la posició i el moment conjugat, ya que es complixen les equacions canòniques d'Hamilton:

És dir, el valor de la hamiltoniana a lo llarc de les trayectòries permaneix constant, de fet, eixe valor és igual a l'energia I que és constant para dit sistema. Suponent que el hamiltoniano té la forma típica, les equacions de moviment poden ser integrades per mig d'una quadratura:

Esta última relació proporciona la funció del temps q(t) buscada, que és la solució de les equacions del moviment.

Un eixemple interessant de sistema que pot reduir-se a un sistema conservativo unidimensional és el moviment d'una partícula movent-se en un camp central.

Equació d'Hamilton-Jacobi

El coneiximent d'algunes constants del moviment es pot aprofitar per a integrar l'equació d'Hamilton-Jacobi. Si es coneix una integral de moviment ${\beta }_i$ llavors existix una coordenada canónicamente conjugada ${\alpha }_i$ tal que l'acció satisfà que:

Eixa propietat permet definir una transformació canònica donada per una funció generatriz, i formar un hamiltoniano en una variable menys, la qual cosa reduïx en dos el número de graus de llibertat del sistema.