Transformació canònica

En mecànica hamiltoniana, una transformació canònica és un canvi de coordenades canónicamente conjugades $(𝐪,𝐩,t)\to (𝐐,𝐏,t)$ que preserva la forma canònica de les equacions d'Hamilton, aun cuando la pròpia forma del Hamiltoniano no queda invariante.

Les transformacions canòniques resulten útils en l'enfoque d'Hamilton-Jacobi de la mecànica clàssica (com a mig de calcular magnituts conservades) i en l'us del teorema de Liouville (que constituïx la base de la mecànica estadística clàssica).

Per claritat, este artícul es restringix a un resum bàsic del seu us comú en mecànica clàssica. El tractament alvançat basat en el fibrado cotangente, la derivació exterior i topología simpléctica es resumix en l'artícul sobre simplectomorfismos. De fet les transformacions canòniques són un tipo especial de simplectomorfismo. No obstant, este artícul conté una breu introducció matemàtica a este enfocament modern més alvançat.

Formulació directa

ya que la mecànica lagrangiana es basa en coordenades generalisades les equacions de moviment són invariantes baix canvis de coordenades donats per:

I per la relació entre les equacions d'Hamilton i les equacions de Euler-Lagrange, en les noves coordenades les equacions d'Hamilton conserven la seua forma canònica. De fet les transformacions de tipo (1) cridades transformacions puntuals són un tipo particular de transformació canònica (ya que conserva inalterada les equacions canòniques d'Hamilton).

No obstant, la classe de transformacions canòniques és molt més àmplia, ya que existix la possibilitat de construir transformacions més generals que involucren també als moments conjugats i al temps del tipo:

Succeïx que no tota transformació de tipo (2) és canònica. Si l'anterior transformació és canònica i no inclou explícitament el temps llavors es diu transformació canònica restringida (molts llibres de text consideren només este tipo). Les condicions de transformació canònica és que la funció hamiltoniana nova o Kantiana $K$ complixca per a les coordenades $(𝐏,𝐐)$ les equacions d'Hamilton, de la mateixa forma que ho fa la funció hamiltoniana original $H$ en les coordenades $(𝐩,𝐪)$:

Calculant ${\dot{Q}}_m$ en el cas d'una transformació canònica restringida a on els canvis de coordenades que no depenen del temps (solament indirectament a través de les coordenades originals) obtenim:

L'expressió anterior deu igualar a la derivada del hamiltoniano $H$respecte a $P_m$:

Igualant les expressions anteriors s'obtenen fàcilment les restriccions que deuen complir-se per a que una transformació siga canònica:

Per mig d'una deducció anàloga per als moments conjugats $P_m$ es completa l'atre conjunt d'equacions que caracterisa a les equacions canòniques:

El conjunt d'equacions (4a) i (4b) són les condicions directes que cal verificar per a comprovar que la transformació és canònica.

Formulació de la funció generatriz

Una forma més senzilla de treballar en les transformacions canòniques és definint la transformació a partir d'una funció generatriz.

Referències

• Landau & Lifshitz: Mecànica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6.