Equació d'Hamilton-Jacobi

La equació d'Hamilton-Jacobi és una equació diferencial en derivades parcials usada en mecànica clàssica i mecànica relativista que permet trobar les equacions d'evolució temporal o de "moviment".

L'equació d'Hamilton-Jacobi (EHJ) permet una formulació alternativa a la mecànica lagrangiana i la mecànica hamiltoniana (i per tant a la mecànica newtoniana, basada en l'intent d'integració directa de les equacions de moviment). L'ocupació de l'equació d'Hamilton-Jacobi resulta ventajós quan es coneix alguna integral de moviment.

Ademés la formulació basada en EHJ és l'única formulació de la mecànica en la que el moviment d'una partícula i el d'una ona es descriuen en els mateixos térmens. Per açò, la EHJ constituïx una meta largamente perseguida de la física teòrica des de Johann Bernoulli, en el XVIII, que va buscar una analogia entre la propagació d'ones i partícules. Esta raó va ser la que va dur a Schrödinger a buscar una equació per a la "mecànica ondulatoria" o mecànica quàntica generalisant l'equació d'Hamilton-Jacobi (en lloc d'usar els atres enfocaments alternatius de la mecànica clàssica). Inclús la primera equació per a mecànica quàntica relativista, l'equació de Klein-Gordon, es va basar en la EHJ relativista en lloc d'atres enfocaments alternatius.

Formulació de la mecànica clàssica basada en la EHJ

L'equació d'Hamilton-Jacobi és una equació en derivades parcials no llineal per a la funció principal d'Hamilton $S(q_1,\dots ,q_N;t)$, cridada també integral d'acció:

Tal com es descriu en este artícul, esta equació pot ser deduïda de la mecànica hamiltoniana considerant a $S$ com la funció generatriz d'una transformació canònica. Els moments conjugats de les coordenades corresponen a les derivades de la funció $S$ sobre les pròpies coordenades generalisades:

(2) $p_k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{\partial S}{\partial q_k}$

Análogament, les coordenades generalisades es poden obtindre com derivades respecte als nous moments conjugats, tal com es descriu més alvance. Invertint estes equacions algebraicament, un pot trobar les equacions d'evolució del sistema mecànic, determinant la variació de les coordenades en el temps. Les posicions inicials i les velocitats inicials apareixen dins de les constants d'integració per a una solució completa de l'equació (1). Les constants d'integració en este método usualment coincidixen en integrals del moviment com l'energia, el moment angular o el vector de Runge-Lenz.

Eixemples

• partícula en un camp de forces conservativo:

Equacions de moviment a partir de la EHJ

L'equació d'Hamilton-Jacobi (EHJ) per a n coordenades generalisades conté ademés el temps, per la qual cosa una solució completa de dita equació contindrà n+1 constants d'integració arbitràries. Com la funció $S$ només intervé en la EHJ a través de les seues derivades primeres una d'estes constants serà aditiva i per tant una integral completa de l'equació tindrà la forma:

A on les n+1 constants són precisament α₁, ..., α_n i A. Per a trobar la solució de les equacions de moviment basta construir n equacions algebraiques:

Invertint estes equacions per a rebujar les coordenades generalisades q_i s'obtenen dites coordenades com a funció del temps i de 2n coordenades, tal com s'hauria obtingut pels métodos de la mecànica lagrangiana o la mecànica hamiltoniana.

Esta solució pot ser justificada si pensem en la funció $f(t,q_1,\dots ,q_n;{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ com la funció generatriz d'una transformació canònica, a on les constants α₁, ..., α_n representen els nous moments conjugats associats a dita transformació, del fet que f siga una funció generatriz de segon tipo implicarà que:

Pero com la funció f satisfà l'equació d'Hamilton-Jacobi la nova hamiltoniana $\overline{H}$ serà nula i per tant:

I per tant la solució trivial de l'anterior sistema és α_i = cte. i β_i = cte. , ya que les α_i són conegudes, perque coneixem una integral completa, les β_i poden obtindre's de la condició:

Que és precisament la solució que s'havia senyalat anteriorment.

Separació de variables

En molts sistemes físics importants per a trobar les solució de les equacions de moviment en l'enfocament d'Hamilton-Jacobi es busca una solució completa de dita equació pel método de separació de variables.

Un cas interessant es presenta quan alguna de les coordenades, per eixemple q₁, només apareix formant una combinació en la derivada de l'acció respecte de la pròpia q₁, és dir, quan l'equació d'Hamilton-Jacobi pot escriure's en la forma:

(5a) $H(t,q_i;\frac{\partial S}{\partial q_i},\varphi (q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}))+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

En eixe cas pot buscar-se una solució de la forma:

(5b) $S=\hat{S}(t,q_j)+S_1(q_1)j\ne 1$

La substitució d'una equació d'este tipo en la (5a) permet reduir el número de variables involucrada en una unitat ya que es complirien simultàneament les relacions:

$H(t,q_i;\frac{\partial \hat{S}}{\partial q_i},{\alpha }_1)+\frac{\partial \hat{S}}{\partial t}=0\wedge \varphi (q_1,\frac{\partial S_1}{\partial q_1})={\alpha }_1$

En alguns casos de sistemes totalment integrables de fet este procediment es pot repetir per a cada una de les variables obtenint-se una integral completa per mig de quadratura simples de la forma:

Coordenades cíclicas

En mecànica hamiltoniana es diu coordenades cíclica a una coordenades $q_i$ que no apareix explícitament en el hamiltoniano. Una coordenada cíclica és sempre un cas particular en el que l'equació d'Hamilton-Jacobi pot escriure's en forma (5a) podent-se conseguir la reducció de l'equació en una variable per mig del canvi:

Per a un sistema conservativo el temps t es comporta de manera anàlec a una coordenada cícilica, com es pot vore a partir de la forma de la solució (5c).

Eixemples de separabilidad

Fixat un sistema de coordenades, l'equació d'Hamilton-Jacobi admetrà separació de variables en dit sistema de coordenades depenent de la forma funcional de l'energia potencial. A continuació van alguns eixemples:

• Coordenades esfèriques. Este tipo de coordenades són freqüents en la teoria del potencial per a analisar el moviment planetari per eixemple. Típicament el hamiltoniano per a este tipo de sistemes té la forma:

I el problema de trobar les trayectòries baix dit hamiltoniano admetrà separació de variables si la funció d'energia potencial té la següent forma:

$U(r,\theta ,\varphi )=U_r(r)+\frac{U_{\theta }(\theta )}{r^2}+\frac{U_{\varphi }(\varphi )}{r^2{\sin }^2\theta }$

Molts problemes físicament importants freqüentment tenen simetria axial per lo que $U_{\varphi }(\varphi )=0$, i en eixes circumstàncies l'acció admet una solució depenent de tres constants $(E,p_{\varphi },\beta )$ de la forma:

• Coordenades elíptiques.

Referències

Bibliografia

• Landau & Lifshitz: Mecànica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6