Mecànica lagrangiana

La mecànica lagrangiana és una reformulación i extensió de la mecànica clàssica introduïda per Joseph-Louis de Lagrange en 1788. En la mecànica lagrangiana, la trayectòria d'un objecte és obtinguda trobant la trayectòria que minimisa l'acció, que és l'integral del lagrangiano en el temps; sent est l'energia cinètica de l'objecte menys l'energia potencial del mateix. Es tracta d'una extensió de la mecànica clàssica newtoniana ya que les ferramentes matemàtiques continuen sent vàlides en l'àmbit de la Física Quàntica i la Relativitat General a on la formulació matemàtica newtoniana pert tota validea.

La formulació lagrangiana simplifica considerablement molts problemes físics. Per eixemple, els sistemes de referència inerciales són tractats en peu d'igualtat i a diferència de les lleis de Newton la forma de les equacions del moviment no depén del sistema de referència elegit.

Motivació

L'utilitat de la formulació lagrangiana s'aprecia inclús en eixemples senzills. Per eixemple, considere un conte en un rogle. Si es calculara el moviment del conte usant la mecànica newtoniana, s'obtindria un sistema complicat d'equacions que considerarien les forces que el rogle eixercix en el conte en cada instant.

En canvi, en l'aproximació de Lagrange, un mira tots els moviments possibles que el conte podria prendre en el rogle i troba matemàticament el que reduïx al mínim l'acció. Hi ha molt poques equacions posat que no s'està calculant directament l'influència del rogle en el conte en un instant donat.

Un atre eixemple és el cas de l'estudi de moviments referits a un sistema que gira, com per eixemple observacions astronòmiques vistes des del planeta Terra: en la formulació newtoniana és necessari introduir a mà les forces fictícies o forces d'inèrcia com la força centrífuga o l'efecte Coriolis mentres que en la formulació lagrangiana estes forces apareixen de modo natural.

Els dos problemes considerats anteriorment són molt més senzills de resoldre amprant la formulació lagrangiana.

Equacions de Lagrange

Les equacions del moviment en mecànica lagrangiana són les equacions de Lagrange, també conegudes com les equacions de Euler-Lagrange. Davall, bosquejamos la derivació de l'equació de Lagrange de les lleis de Newton del moviment. Veja les referències per a derivació més detallades i més generals. En la seua forma més general, en que es dona un sistema de referència general en coordenades generalisades ( $q_{1}, ..., q_{N}; {\dot{q}}_{1}, ..., {\dot{q}}_{N}$ ) les equacions de Lagrange prenen la forma:

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial L (q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), t)}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L (q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), t)}{\partial q_{i}} = 0$

Derivació a partir de les lleis de Newton

Considere una sola partícula en massa m i el vector de posició r. La força aplicada, F, si és una força conservativa pot ser expressada com el gradient d'una funció potencial escalar V(r, t):

$𝐅 = - \nabla V$

tal força és independent de les terceres derivades de r (o de derivades d'orde superior), per tant la segona llei de Newton forma un sistema de 3 equacions diferencials ordinàries de segon orde. Per lo tant, el moviment de la partícula es pot descriure totalment per 6 variables independents, o graus de llibertat. Un sistema obvi de variables és {r_j, r′_j | j = 1, 2, 3}, les components cartesianas de r i les seues derivades temporals, en un instant donat del temps.

Més generalment, podem treballar en un sistema de coordenades generalisades i de les seues derivades temporals, les velocitats generalisades: {q_j, q′_j}. r està relacionat en les coordenades generalisades per certa equació de transformació:

$𝐫 = 𝐫 (q_{1}, q_{2}, q_{3}, t)$

Considere un desplaçament arbitrari δr de la partícula. El treball fet per la força aplicada F és δW = F · δr. que usa la segona llei de Newton, escrivim:

$𝐅 \cdot δ 𝐫 = m \ddot{𝐫} \cdot δ 𝐫$

lloc que el treball és una cantitat escalar física, devem poder reescriure esta equació en térmens de les coordenades i de les velocitats generalisades. En el costat esquerre,

El costat dret és més difícil, pero despuix d'algunes maniobres obtenim:

A on $T = m {\dot{r}}^{2} / 2$ és l'energia cinètica de la partícula. La nostra equació per al treball fet es convertix en

\sum_{i} [\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q'_{i}} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_{i}}] δ q_{i} = 0

no obstant, esta deu ser veritat per a qualsevol conjunt de desplaçaments generalisats δq_i, aixina que devem tindre

[\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q'_{i}} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_{i}}] = 0

per a cada coordenada generalisada δq_i. Podem simplificar encara més açò observant que V és una funció solament de r i t, i r és una funció de les coordenades generalisades i t. Per lo tant, V és independent de les velocitats generalisades:

\frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial q'_{i}} = 0

Insertant açò en l'equació precedent i substituyendo L = T - V, obtenim les equacions de Lagrange:

\frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q'_{i}}

Hi ha una equació de Lagrange per a cada coordenada generalisada q_i. Quan q_i = r_i (és dir les coordenades generalisades són simplement les coordenades cartesianas), és immediat comprovar que les equacions de Lagrange es reduïxen a la segona llei del Newton.

La derivació antedicha es pot generalisar a un sistema de N partícules. Hi haurà 6N coordenades generalisades, relacionades en les coordenades de posició per 3N equacions de transformació. En cada una de les 3N equacions de Lagrange, T és l'energia cinètica total del sistema, i V l'energia potencial total.

En la pràctica, és a sovint més fàcil solucionar un problema usant les equacions de Euler-Lagrange que les lleis de Newton. Açò és perque les coordenades generalisades apropiades q_i es poden elegir per a aprofitar les simetria en el sistema.^[1]

Derivació a partir del principi d'Hamilton

Artícul principal → Principi de mínima acció.

L'acció, denotada per S, és l'integral temporal del lagrangiano:

S = \int L d t

Siguen q₀ i q₁ les coordenades en els instants inicial i final, t₀ i t₁ respectivament. Usant el càlcul de variacions, es pot mostrar que les equacions de Lagrange són equivalents al principi d'Hamilton:

el sistema experimenta aquella trayectòria entre t₀ i t₁ l'acció del qual té un valor estacionario.

Per estacionario, signifiquem que l'acció no varia en el primer orde per a les deformacions infinitesimals de la trayectòria, en els punts llímits (q₀, t₀) i (q₁, t₁) fixats. El principi d'Hamilton es pot escriure com:

δS = 0

Aixina, en lloc de pensar en partícules que acceleren en resposta a forces aplicades, un pot pensar en elles seleccionant la trayectòria en una acció estacionaria.

El principi d'Hamilton és conegut, a voltes, com principi de mínima acció. No obstant, açò és una impropiedad: l'acció només necessita ser estacionaria, i la trayectòria correcta es podria produir per un màxim, punt de ensilladura, o mínim en l'acció.

Vore també

Referències

↑ Marion, Jerry B. (1984). Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes, Reverté. OCLC 991783900. ISBN 8429140948.

Goldstein, H.: "Mecànica clàssica", Ed. Reverté, 1994.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Mecánica lagrangiana» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Marion, Jerry B. (1984). Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes, Reverté. OCLC 991783900. ISBN 8429140948.

[1]