Coordenades generalisades

Es denominen informalment coordenades generalisades a un conjunt qualsevol de paràmetros numèrics que servixen per a determinar de manera unívoca la configuració d'un mecanisme o sistema mecànic en un número finito de graus de llibertat. Més formalment, les coordenades generalisades es definixen com un sistema de coordenades curvilíneas sobre la varietat de configuració d'un sistema físic com per eixemple l'espai de configuració o l'espai de fases de la mecànica clàssica.

El número mínim de coordenades generalisades per a definir l'estat del sistema es coneix com: Coordenades independents. En este context, les coordenades poden ser absolutes (referides a un sòlit immòvil, respecte del com el mecanisme "es mou"); o be poden ser relatives a un atre membre del mecanisme.

Mecànica lagrangiana

Noció intuïtiva

La mecànica newtoniana usa sistemes de referència en eixos cartesianos en que la posició d'una partícula puntual en un instant donat ve donada per un vector del espai euclídeo. Les equacions de moviment són equacions diferencials que relacionen les derivades de la posició en la posició de les atres partícules. No obstant, matemàticament podem usar un conjunt de coordenades curvilíneas qualssevol tals que el vector posició puga ser expressat en térmens d'eixes coordenades i viceversa. Açò implica que en un sistema de P partícules (i 2N graus de llibertat) existiran funcions invertibles de l'atra tals que:

Noció formal

Formalment, en mecànica lagrangiana l'estat físic d'un sistema mecànic, també cridat estat de moviment, ve representat per un punt del espai de configuració "ampliat". Este espai es designa per TQ i matemàticament és el fibrado tangente de l'espai de configuració Q de possibles posicions. Per construcció l'espai de configuració ampliat té una estructura de varietat diferenciable de dimensió 2N, sent N el número de graus de llibertat del sistema. Naturalment els 2N números anteriors tenen que vore en les coordenades curvilíneas en térmens dels quals representem la posició ordinària d'una partícula.

De la discussió anterior se seguix que un conjunt adequat de coordenades generalisades per a un sistema lagrangiano no pot vindre dau per un conjunt qualsevol de m número real sino que deu existir un conjunt obert O del fibrado tangente TQ i una funció de classe C^k, en k > 1, tal que:

${\varphi }_q:U\subset TQ\to {ℝ}^{2N}(p,v)\in U\to (q_1,\mathrm{...},q_N,{\dot{q}}_1,\mathrm{...},{\dot{q}}_N)={\varphi }_q(p,v)$

Un sistema com l'anterior es diu sistema natural. No obstant, alguns sistemes admeten coordenades generalisades més complicades que depenen ademés del temps, com es va discutir al principi i eixos sistemes requerixen ser descrits per mig d'una varietat de dimensió 2N+1 sent els detalls similars.

Mecànica hamiltoniana

La situació en mecànica hamiltoniana és similar a la que es presenta en mecànica lagrangiana ya que l'estat d'un sistema físic es representa per un punt del cridat espai fásico (que és una varietat simpléctica construïda sobre l'espai de configuració "ampliat" del sistema).

En una varietat simpléctica (M,ω) poden triar-se diversos sistemes de coordenades generalisades, pero tenen especial interés els sistemes de coordenades canòniques. El teorema de Darboux garantisa que al voltant de qualsevol punt existix un entorn i un sistema de coordenades en el qual la 2-forma simpléctica té la forma:

$\omega =\sum _{i}d{p}_i\wedge d{q}_i$

Un sistema de coordenades com l'anterior és un sistema de coordenades canòniques, a on la coordenada p_i es diu moment conjugat de la coordenada q_i. En un sistema de coordenades canòniques les equacions d'Hamilton prenen la seua forma canònica.

Vore també

• Velocitats generalisades i Graus de llibertat d'un mecanisme.
• Equacions d'enllaç