Coordenades canòniques

En matemàtica i mecànica clàssica, les coordenades canòniques^[1] són conjunts de coordenades en l'espai de fase que es poden usar per a descriure un sistema físic en qualsevol moment donat. S'utilisen en la formulació hamiltoniana de la mecànica clàssica. Un concepte estretament relacionat també apareix en la mecànica quàntica (vore el teorema de Stone-von Neumann i les relacions de conmutación canòniques para més detalls).

Com la mecànica hamiltoniana es generalisa per la geometria simpléctica i les transformacions canòniques es generalisen per les transformacions de contacte, la definició de coordenades canòniques en la mecànica clàssica de el XIX pot generalisar-se a una definició més abstracta de coordenades de el XX en el fibrado cotangente d'una varietat (la noció matemàtica d'espai de fases).

Definició en mecànica clàssica

En mecànica clàssica, les coordenades canòniques són un sistema de referència $q_{i}$ i $p_{i}$ en l'espai de fase que s'utilisen en el formalisme hamiltoniano. Les coordenades canòniques satisfan les relacions fonamentals del corchete de Poisson:

{q_{i}, q_{j}} = 0 {p_{i}, p_{j}} = 0 {q_{i}, p_{j}} = δ_{i j}

Un eixemple típic de coordenades canòniques per a $q_{i}$ són les coordenades cartesianas habituals, i $p_{i}$ són les components del moment. Per lo tant, en general, les coordenades $p_{i}$ es denominen moments conjugats.

Les coordenades canòniques es poden obtindre a partir de les coordenades generalisades del formalisme lagrangiano per mig d'una transformació de Legendre, o d'un atre conjunt de coordenades canòniques per mig d'una transformació canònica.

Definició en fibrados cotangentes

Les coordenades canòniques es definixen com un conjunt especial de coordenades en el fibrado cotangente d'una varietat. Per lo general, s'escriuen com un conjunt de $(q^{i}, p_{j})$ o $(x^{i}, p_{j})$ en les x o les q que denoten les coordenades en la varietat subjacent i les p que indiquen el moment conjugat, que són 1-formes en el fibrado cotangente en el punt q de la varietat.

Una definició comuna de coordenades canòniques és qualsevol conjunt de coordenades en el fibrado cotangente que permet que la forma canònica s'escriga de la manera següent:

\sum_{i} p_{i} d q^{i}

fins a un diferencial total. Un canvi de coordenades que conserva esta forma és una transformació canònica; es tracta d'un cas especial d'un simplectomorfismo, que és essencialment un canvi de coordenades en una varietat simpléctica.

En la següent exposició se supon que les varietats són múltiples reals, de modo que els vectores cotangentes que actuen sobre vectores tangentes produïxen número real.

Referències

↑ Peter Ellsworth Hydon (2000). Symmetry Methods for Differential Equations: A Beginner's Guide, Cambridge University Press, pp. 58 de 213. ISBN 9780521497862.

Este artícul conté una traducció derivada de «Coordenadas canónicas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[PEH-1] Peter Ellsworth Hydon (2000). Symmetry Methods for Differential Equations: A Beginner's Guide, Cambridge University Press, pp. 58 de 213. ISBN 9780521497862.

[1]