Topología simpléctica

Un icon del tema Crystal Clear

La topología simpléctica és aquella part de les matemàtiques referida a l'estudi de les varietats simplécticas. Estes varietats es presenten naturalment en la formulació hamiltoniana de la mecànica clàssica, que proporciona una de les motivacions principals per al tema. Hi ha un model local estàndart, a saber R²ⁿ en ω_i,n+i = 1; ω_n+i,i = -1; ω_j,k = 0 per a tot i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (k ≠ j+n o j ≠ k+n). Es diu a açò un espai llineal simpléctico.

Una varietat simpléctica és un parell (M, ω) a on M és una varietat diferenciable i ω és una 2-forma tancada, no degenerada en M anomenada la forma simpléctica. Ací, «no degenerada» significa que: per a cada vector distint de zero (denotat per o ) en un punt del espai tangente , hi ha un vector v tal que

ω(o, v) ≠ 0

Els eixemples fonamentals de varietats simplécticas vénen daus pels fibrados cotangentes de varietats; estos es presenten en la mecànica clàssica, a on el conjunt de totes les configuracions possibles d'un sistema es modela com a varietat, i el fibrado cotangente d'esta varietat descriu l'espai de fase del sistema. Les varietats de Kähler són també varietats simplécticas. Ya en els anys 70, els simplécticos experts estaven insegurs de si existia alguna varietat simpléctica compactar no kähleriana, pero molts eixemples s'han construït des de llavors; en particular, Robert Gompf ha demostrat que cada grup finitamente presentat apareix com el grup fonamental d'alguna 4-varietat simpléctica, en contrast marcat en el cas kähleriano.

Directament de la definició, es pot demostrar que M és de dimensió parell 2n i que el ωⁿ és una forma nula en ninguna parte, la forma volum. Se seguix que una varietat simpléctica està canónicamente orientada i ve en una mida canònica, la mida de Liouville.

Campos vectorials hamiltonianos

En una varietat simpléctica, cada funció diferenciable, H, definix un camp vectorial únic,X_H, cridat el camp vectorial hamiltoniano. Es definix de tal modo que per a cada camp vectorial I en M l'identitat

dH(I) = ω(X_H,I)

valga. Els camps vectorials hamiltonianos donen a les funcions en M l'estructura d'un àlgebra de Lie en el corchete de Poisson

{f,g} = ω(X_f,X_g) = X_g(f)

(Advertència: atres convencions de signe estan també en us).

Simplectomorfismos

El fluix d'un camp vectorial hamiltoniano és un simplectomorfismo és dir un difeomorfismo que preserva la forma simpléctica. Açò se seguix del pany de la forma simpléctica i de l'expressió de la derivada de Lie en térmens de la derivada exterior. Com una conseqüència directa tenim la teorema de Liouville: el volum simpléctico és invariante baix un fluix hamiltoniano. Com a {H,H} =X_(H)H = 0 el fluix d'un camp vectorial hamiltoniano també preserva H. En física açò s'interpreta com la llei de conservació de l'energia. La teorema de Liouville s'interpreta com la conservació del volum de fase en sistemes hamiltonianos, que és la base per a la mecànica estadística clàssica. Acabem de mostrar que hi ha una correspondència un a un entre simplectomorfismos infinitesimals i les funcions diferenciables sobre una varietat simpléctica.

A diferència de les varietats de Riemann, les varietats simplécticas són extremadament no rígits: tenen molts simplectomorfismos provinents de camps vectorials hamiltonianos. La diferència fonamental entre la geometria riemanniana i simpléctica és que una varietat simpléctica no té cap invariante local: segons el teorema de Darboux per a cada punt x en una varietat simpléctica hi ha un conjunt coordenado local cridat variables àngul en els coordenades p₁,...,p_n,q₁,...,q_n, tals que:ω = Σ dp_i ∧ dq_i

Els subgrups finito-dimensionals del grup de simplectomorfismos són grups de Lie. Representacions d'estos grups de Lie (despuix d'h-deformacions, en general!) en els espais de Hilbert es diuen «cuantizaciones». Quan el grup de Lie és definit per un hamiltoniano, es diu una «cuantización per energia». L'operador de Lie corresponent de l'àlgebra de Lie a l'àlgebra de Lie d'operadors llineals continus també és, a voltes, cridada la cuantización, i és una manera més comuna, entre físics, de considerar-la.

Vore també

• Mecànica hamiltoniana
• Geometria de Riemann
• Grup simpléctico
• Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie

Referències

• McDuff, D. i Salamon, D.: Introduction to Symplectic Topology (Oxford Mathematical Monographs)