Sistema hamiltoniano

Un sistema hamiltoniano és un sistema dinàmic governat per equacions d'Hamilton. En física, estos sistemes dinàmics descriuen l'evolució d'un sistema físic, com un sistema planetari o un electró en un camp electromagnètic. Estos sistemes poden estudiar-se tant en mecànica hamiltoniana com en teoria de sistemes dinàmics.

Visió general

Informalment, un sistema hamiltoniano és un formalisme matemàtic desenrollat per Hamilton per a descriure les equacions d'evolució d'un sistema físic. La ventaja d'esta descripció és que dona importants aportes sobre la dinàmica, inclús encara que el problema de valor inicial no puga resoldre's analíticament. Un eixemple és el moviment planetari de tres cossos. Encara que no existix cap solució simple al problema general, Poincaré va demostrar per primera volta que exhibix caos determinístico.

Formalment, un sistema hamiltoniano és un sistema dinàmic completament descrit per la funció escalar $H(𝒒,𝒑,t)$, el hamiltoniano. L'estat del sistema, $𝒓$, ve descrit per les coordenades generalisades «moment» $𝒑$ i «posició» $𝒒$ a on $𝒑$ i $𝒒$ són vectores en la mateixa dimensió, $N$. Aixina, el sistema està completament descrit pel vector de dimensió $2N$

$𝒓=(𝒒,𝒑)$

i l'equació d'evolució està donada per les equacions d'Hamilton,

$\begin{array}{cc}& \frac{d𝒑}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial 𝒒}\\ & \frac{d𝒒}{dt}=+\frac{\partial H}{\partial 𝒑}\end{array}$.

La trayectòria $𝒓(t)$ és la solució del problema de valor inicial definit per les equacions d'Hamilton i la condició inicial $𝒓(0)={𝒓}_0\in {ℝ}^{2N}$.

Sistema hamiltoniano independent del temps

Si el hamiltoniano no és explícitament depenent del temps, açò és, si $H(𝒒,𝒑,t)=H(𝒒,𝒑)$, llavors el hamiltoniano no varia en el temps en térmens absoluts:

$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial 𝒑}\cdot \frac{d𝒑}{dt}+\frac{\partial H}{\partial 𝒒}\cdot \frac{d𝒒}{dt}+\frac{\partial H}{\partial t}$ $\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial 𝒑}\cdot (-\frac{\partial H}{\partial 𝒒})+\frac{\partial H}{\partial 𝒒}\cdot \frac{\partial H}{\partial 𝒑}+0=0$

i per tant el hamiltoniano és una constant del moviment, el valor del qual és igual a l'energia total del sistema, $H=E$. Eixemples d'estos sistemes són el péndola, l'oscilador harmònic o el billar dinàmic.

Eixemple

Un eixemple de sistema hamiltoniano independent del temps és l'oscilador harmònic. Considerem el sistema definit per les coordenades $𝒑=p$ i $𝒒=x$ que el seu hamiltoniano ve dau per

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2$

El hamiltoniano d'este sistema no depén del temps i per tant l'energia del sistema es conserva.

Vore també

• Coordenades d'acció-àngul
• Teorema de Liouville (mecànica hamiltoniana)
• Sistema hamiltoniano integrable
• Teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser

Bibliografia

• Almeida, A. M. (1992).Hamiltonian systems: Chaos and quantization. Cambridge monographs on mathematical physics. Cambridge (o.a.: Cambridge Univ. Press)
• Audin, M., (2008). Hamiltonian systems and their integrability. Providence, R.I: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4413-7
• Dickey, L. A. (2003). Soliton equations and Hamiltonian systems. Advanced séries in mathematical physics, v. 26. River Edge, NJ: World Scientific.
• Treschev, D., & Zubelevich, O. (2010). Introduction to the perturbation theory of Hamiltonian systems. Heidelberg: Springer
• Zaslavsky, G. M. (2007). The physics of chaos in Hamiltonian systems. Londres: Imperial College Press.