Hamiltoniano (mecànica clàssica)

El hamiltoniano és una funció escalar a partir de la qual poden obtindre's les equacions de moviment d'un sistema mecànic clàssic que s'ampra en l'enfoque hamiltoniano de la mecànica clàssica.

Baixe certes condicions relacionades en les característiques del sistema (sistema conservativo) i les coordenades amprades, el hamiltoniano pot identificar-se en l'energia mecànica del sistema, encara que açò no succeïx per a tots els sistemes.

Usualment el hamiltoniano és una funció de les variables de posició i les seues moments conjugats, o més generalment pot definir-se com una funció escalar definida sobre l'espai fásico del sistema.

Hamiltoniano clàssic

Hamiltoniano i energia

Fixat un conjunt de coordenades canòniques sobre l'espai de fases d'un sistema hamiltoniano (en un número finito de graus de llibertat), el hamiltoniano o funció hamiltoniana pot representar-se per una funció de les coordenades generalisades i els corresponents moments conjugats:

Si el sistema és autònom, és dir, si no existix dependència explícita del temps t en el lagrangiano i el conjunt de coordenades triades són naturals, llavors pot provar-se que el hamiltoniano és una integral de moviment i ademés coincidix en valor en l'energia mecànica total del sistema.

• Per a mostrar que el hamiltoniano és una constant del moviment per a un sistema autònom, ho escrivim en térmens del lagrangiano i calculem la seua derivada total respecte al temps:

Tenint en conte les equacions de Euler-Lagrange i relació entre velocitats i la definició de moments conjugats, es té finalment que la derivada total del hamiltoniano coincidix en la derivada parcial de lagrangiano, per lo que, si este no depén explícitament del temps, el hamiltoniano és constant, ya que:

• Per a vore si el sistema és natural, és dir, si el hamiltoniano coincidix en l'energia, es calcula l'energia cinètica expressada en les coordenades generalisades a partir de la seua expressió newtoniana:

A on:

$T_2$ són els térmens quadràtics en les velocitats.

$T_1$ són els térmens llineals en les velocitats.

$T_0$ són els térmens no depenents de la velocitat.

$A_{jk}=\sum _i{m}_i\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j}\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_k}{B}_j=\sum _i{m}_i\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j}\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial t}C=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i{\left(\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial t}\right)}^2$

L'energia mecànica total (energia cinètica (I_c)+ energia potencial (I_p)) i el hamiltoniano no coincidiran a menos que T₀ = 0, i en eixe cas general:

No obstant, el sistema serà natural si T₁ = T₀ = 0(B_j = 0, C = 0) i si l'energia mecànica total i el hamiltoniano coincidixen.

Integral de Jacobi-Painlevé

Archiu:Spherical pendulum.png

Péndola esfèric en rotació uniforme forçada.

En un sistema autònom, en el que el lagrangiano no depén del temps, el hamiltoniano seguix sent una integral del moviment i per tant es manté constant. En la secció anterior vàrem vore que este valor constant és igual a:

Este valor, per a sistemes autònoms és lo que es coneix com a integral de Jacobi o integral de Jacobi-Painlevé. Convé notar, no obstant, que si el sistema no és natural este valor constant del hamiltoniano en general no coincidirà en el valor total de l'energia mecànica i per tant l'energia mecànica no té per qué ser una constant del moviment, ya que esta ve donada per:

Una péndola esfèrica és un cas de sistema no-natural i simultàneament autònom. El lagrangiano d'una péndola forçada, com el de la figura, format per una partícula de massa m subjecta a un fil inextensible forçat a girar en velocitat angular ω mentres oscila respecte a un eix perpendicular a la direcció:

Òbviament este lagrangiano és independent del temps, per lo que el sistema és autònom; no obstant, la relació entre la coordenada generalisada α i les coordenades cartesinas de la partícula són relacions depenents del temps:

ya que eixes relacions depenen explícitament del temps, el sistema de coordenades generalisades no és natural. El hamiltoniano, per no dependre el lagragiano del temps, és òbviament una magnitut conservada o constant del moviment:

No obstant, l'energia mecànica del sistema, suma de l'energia cinètica i l'energia potencial, és en este cas:

L'explicació de per qué no es conserva és simple. El sistema, encara que autònom, no està aïllat, puix necessita un "motor" que mantinga constant la velocitat angular ω. Per això hi ha un fluix d'energia des de l'exterior, i l'energia mecànica oscila entre un màxim i un mínim. El valor instantàneu de l'energia i el seu valor mig temporal són:

Eixemples

• Una partícula o cos rígit de massa m en un camp de forces conservativo ve dau per:

Casos particular de l'anterior són:

Un cos en un camp gravitario: $\varphi (𝐫)=-GM/\Vert 𝐫\Vert$

Una partícula en moviment harmònic simple $\varphi (𝐫)=k{𝐫}^2/2$

Un péndola simple: [convenció: l'energia potencial s'ha pres 0 quan l'àngul és 0]

Un péndola esfèrica: Note's que per a que la hamiltoniana estiga correctament expressada en el formalisme hamiltoniano, esta ha de ser una funció de la forma:

i no de les velocitats generalisades del sistema, $\dot{𝐫}$. Per a expressar correctament la hamiltoniana, és necessari usar les equacions dels moments conjugats:

i substituir en la funció hamiltoniana, sent $L=L(𝐪,\dot{𝐪},t)$ el lagrangiano del sistema.

Hamiltoniano quàntic

Artícul principal → Hamiltoniano (mecànica quàntica).

En mecànica quàntica s'usa un concepte de hamiltoniano diferent matemàticament de l'usat en mecànica clàssica. Si be en mecànica clàssica el hamiltoniano és una funció definida sobre l'espai de fases del sistema (varietat simpléctica de dimensió finita), en mecànica quàntica el hamiltoniano és un operador llineal que actua sobre elements d'un espai vectorial, generalment de dimensió infinita.

La conexió entre abdós conceptes és difícil d'entendre. Per a escomençar, necessitem definir una medida invariante sobre l'espai de fases que usualment es pren com una potència de la forma simpléctica que definix l'estructura simpléctica de dit espai:

A on ${\eta }_{\Gamma }$ és la mida invariante que apareix en el teorema de Liouville. Ademés, la solució de les equacions d'Hamilton donen lloc a un fluix sobre l'espai fásico, que pot representar-se per un grup uniparamétrico {T^t}. Finalment, pot vore's que este fluix induïx sobre les funcions de quadrat integrable definides un grup unitari d'operadors d'evolució {O^t}:

Esta última idea es correspon prou be en l'idea de la funció d'ones d'un sistema quàntic, i es pot representar en molts casos com una funció de quadrat integrable sobre l'espai de posicions de la partícula. L'equació de la solució de Schrödinger pot representar-se també per un grup unitari d'operadors construible a partir del hamiltoniano quàntic:

Els paralels formals entre (*) i (**) són evidents.