Mecànica hamiltoniana

Principi de la mínima acció.

La mecànica hamiltoniana va ser formulada en 1833 per William R. Hamilton. Com la mecànica lagrangiana, és una reformulación de la mecànica clàssica. La mecànica hamiltoniana pot ser formulada per sí mateixa, usant els espais simplécticos, sense referir a qualsevol dels conceptes anteriors de força o de la mecànica lagrangiana. Veja la secció en la seua formulació matemàtica para açò. Per a la primera part d'este artícul, mostrarem cóm sorgix històricament de l'estudi de la mecànica lagrangiana.

Mecànica hamiltoniana bàsica

Relació entre mecànica hamiltoniana i mecànica lagrangiana

En mecànica lagrangiana, les equacions del moviment són un sistema d'equacions diferencials de segon orde, dependents de les coordenades generalisades $𝐪=(q_1,\dots ,q_N)$ i de les velocitats generalisades $\dot{𝐪}=({\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)$.

Les equacions del moviment en mecànica lagrangiana es coneixen com equacions de Euler-Lagrange i es construïxen a partir d'una funció L, cridada lagrangiano, que és igual a l'energia cinètica menys l'energia potencial. Quan s'usen coordenades cartesianas en sistemes de referència inerciales, les equacions de Euler-Lagrange es reduïxen a la segona llei de Newton. Encara que la seua forma en un sistema de referència general en coordenades generalisades $(q_1,\mathrm{...},q_N;{\dot{q}}_1,\mathrm{...},{\dot{q}}_N)$ és:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L(q_i(t),{\dot{q}}_i(t),t)}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{\partial L(q_i(t),{\dot{q}}_i(t),t)}{\partial q_i}=0$

La mecànica hamiltoniana és un enfocament bàsicament equivalent a l'anterior, a on les equacions del moviment vénen donades per un sistema d'equacions diferencials ordinàries de primer orde, que s'escriuen en funció d'una funció H anomenada hamiltoniano (que en certs casos pot interpretar-se com l'energia total del sistema, és dir, la suma d'energia cinètica i energia potencial). Esta reducció de l'orde del sistema es conseguix substituyendo variables de les velocitats generalisades per unes variables abstractes de momentum (també conegudes com a moments conjugats). Aixina per cada velocitat generalisada, hi ha un moment conjugat corresponent, definit com:

$p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$

Si el potencial associat al lagrangiano no depén explícitament de la velocitat, el moment conjugat correspon al moment usual, utilisat en mecànica Newtoniana. Invertint este sistema d'equacions s'obtenen les velocitats generalisades en térmens dels moments generalisats, pas necessari per a obtindre el Hamiltoniano usant transformades de Legendre. En coordenades polars, el moment generalisat que correspon a la velocitat angular és el moment angular físic. Per a una elecció arbitrària de coordenades generalisades, pugues no ser possible obtindre una interpretació intuïtiva dels moments conjugats. El hamiltoniano és la transformació de Legendre del lagrangiano:

(1) $H(𝐪,𝐩,t)=\sum _i\dot{q_i}{p}_i-L(q_j,\dot{q_j},t)$

Les velocitats generalisades són preses com a funcions dels moments generalisats. Si les equacions de la transformació que definixen les coordenades generalisades són independents de t, pot ser demostrat que H és igual a l'energia total I = T + V.

Equacions canòniques d'Hamilton

Calculant la diferencial exterior de cada u dels membres de l'equació (1) que definix H, es té l'igualtat de formes pfaffianas:

$\begin{array}{ccc}dH& =& \sum _i[\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)d{q}_i+\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)d{p}_i+\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)dt]\\ \\ & =& \sum _i[\dot{q_i}d{p}_i+p_{i}d\dot{q_i}-\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)d{q}_i-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)d\dot{q_i}-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)dt].\end{array}$

Substituyendo la definició anterior dels moments conjugats en esta equació, utilisant l'equació de Lagrange i emparellant coeficients, obtenim les equacions del moviment de la mecànica hamiltoniana, conegut com les equacions canòniques d'Hamilton:

Ventages de la mecànica hamiltoniana

Les equacions d'Hamilton són equacions de primer orde, i per tant més fàcils de resoldre que les equacions de Lagrange, que són de segon orde. Lo més costós de treballar en l'enfocament hamiltoniano és buscar els moments conjugats de les coordenades generalisades, i reexpresar les velocitats en térmens d'estos moments conjugats per a construir el hamiltoniano.

Encara que en ocasions, pot haver poc aforro de treball en solucionar un problema en l'enfocament hamiltoniano respecte a l'enfocament lagrangiano ya que, en última instància, es produirà la mateixa solució que la mecànica lagrangiana i les lleis de Newton del moviment. No obstant existixen ventages adicionals:

• L'enfocament hamiltoniano és el que proporciona la base per a resultats més profunts en la teoria de la mecànica clàssica. En concret la mecànica hamiltoniana permet introduir el formalisme del espai de fases que és una estructura o varietat simpléctica sobre el fibrado cotangente del espai de configuració.
• L'estructura de les trayectòries, aixina com l'existència d'integrals de moviment és molt més senzilla: basta comprovar el que paréntesis de Poisson en el hamiltoniano s'anule. Abdós resultats es reflectixen en el teorema de integrabilidad de Liouville.
• El conjunt de transformacions que deixen invariantes les equacions d'Hamilton, cridades transformacions canòniques són una classe de canvis de coordenades molt més àmplia que la que existix en mecànica lagrangiana. En mecànica lagrangiana qualsevol canvi de coordenades de la forma:

$\overline{𝐪}=f(𝐪,t)$

Deixa invariantes les equacions de Euler-Lagrange, en canvi en mecànica hamiltoniana existixen transformacions del tipo:

Açò és important ya que en molts problemes mecànics els canvis de coordenades s'usen per a deixar les equacions del moviment en una forma algebraica més senzilla d'integrar.

Corchete de Poisson

Artícul principal → Corchete de Poisson.

El corchete de Poisson, en coordenades canòniques, està definit com:

Pot vore's que formalment el corchete de Poisson és una aplicació de l'espai de funcions definides sobre l'espai fásico:

$[,]:ℱ(\Gamma )\times ℱ(\Gamma )\to ℱ(\Gamma )$

Esta aplicació té les següents propietats:

1. $[X,X]=0$
2. $[X,Y]=-[Y,X]$ (propietat de antisimetría)
3. $[X,C]=0\text{con}C=\text{cte.}$
4. $[\alpha X+\beta Y,Z]=\alpha [X,Z]+\beta [Y,Z]$ (bilinealidad)
5. $[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0$ (identitat de Jacobi)
6. $dX/dt=[X,H]$

per a qualsevol $X,Y,Z\in ℱ$ i per a qualsevol $\alpha ,\beta \in ℝ$.

Transformacions canòniques

Artícul principal → transformació canònica.

Una transformació canònica és un canvi de coordenades $(p,q)\to (P,Q)$ en l'espai fásico, tal que en les noves coordenades les equacions d'Hamilton per a l'evolució temporal seguixen conservant la forma canònica. La possibilitat de realisar transformacions canòniques són una de les grans ventages de la mecànica hamiltoniana a l'hora d'integrar les equacions de moviment. L'us de les transformacions canòniques també és important en l'enfocament de la mecànica clàssica basat en l'equació d'Hamilton-Jacobi.

Teorema de Liouville

Artícul principal → Teorema de Liouville (mecànica hamiltoniana).

Considerem una regió del espai fásico que evoluciona en el temps en desplaçar-se sobre la seua trayectòria cada u dels seus punts es transforma a la veta del temps en una regió de forma diferent ubicada, ademés, en una atra part de l'espai fásico. La teorema de Liouville demostra que a pesar de la translació i el canvi de forma el "volum" total de dita regió permaneixerà invariante. Ademés per la continuïtat de l'evolució temporal si la regió és conexa inicialment seguirà sent conexa tot el temps.

La invariancia del volum pot provar-se de manera relativament senzilla usant que la pròpia evolució temporal pot vore's com una transformació canònica, i ya que estes preserven el volum se seguix la teorema de Liouville per a l'evolució temporal.

Mecànica hamiltoniana alvançada

La mecànica hamiltoniana admet una formulació molt elegant en el llenguage de la geometria diferencial. En esta formulació abstracta es construïx una varietat simpléctica $(ℳ,\omega )$ que de fet és l'espai fásico dotat d'una estructura topològica convenient. L'objecte $\omega$ és una 2-forma tancada i no degenerada que permetrà definir el corchete de Poisson del sistema (i també l'àlgebra de Poisson del sistema). Esta 2-forma permet construir ademés una biyección entre l'espai vectorial tangente i l'espai cotangente d'1-formes de la varietat simpléctica:

Un sistema hamiltoniano ve descrit per una tripleta $(ℳ,\omega ,\hat{H})$ a on $\hat{H}$ és una funció diferenciable, cridada hamiltoniano, definida sobre $ℳ$, les equacions d'Hamilton es representen simplement com:

A on $\mathrm{d}$ és la derivada exterior. Per a vore la relació entre esta última equació i les equacions canòniques d'Hamilton (2) podem considerar una carta local $\varphi :ℳ\to {ℝ}^{2n}$ que definixca un conjunt de coordenades canónicamente conjugades tal com establix el Teorema de Darboux, podem escriure en eixes coordenades:

I per tant:

Fluix hamiltoniano

La funció diferenciable $\hat{H}$ a través de l'equació (5) un camp vectorial continu sobre tota la varietat simpléctica. Les curves integrals d'este camp vectorial són les trayectòries de les partícules a lo llarc de l'espai fásico. Eixes curves definixen una foliación unidimensional o fluix hamiltoniano sobre la varietat. De fet per a cada interval de temps s es pot definir una aplicació:

De fet l'anterior aplicació és una transformació canònica o simplectomorfismo. El conjunt $\{U_s:ℳ\to ℳ|s\in ℝ\}$ de totes les aplicacions anteriors constituïx un grup uniparamétrico de simplectomorfismos. Si considerem qualsevol magnitut física definida com una funció diferenciable sobre la varietat simpléctica, la seua variació a lo llarc d'una trayectòria, ve donada per la següent derivada temporal:

Tal com es demostra més alvance. De fet en mecànica estadística s'usen distribucions de provabilitat sobre l'espai fásico. Fixada una distribució ρ esta en general "evolucionarà" en el temps segons la llei:

Esta última expressió es diu equació de Liouville, en particular una distribució tal que el corchete de Poisson en el hamiltoniano s'anule es diu distribució estacionaria.

Cada funció diferenciable G, sobre la varietat simpléctica genera una família uniparamétrica de simplectomorfismos i si {G, H}=0, llavors G es conserva i els simplectomorfismos són transformacions de simetria.

Àlgebra de Poisson

Artícul principal → Àlgebra de Poisson.

A la seua volta el corchete de Poisson s'expressa de modo molt simple en térmens de la funció inversa de $i_{(\cdot )}\omega$ denotada per mig de $\tilde{\omega }$:

Hi ha una atra generalisació que podem fer. En volta simplement de mirar l'àlgebra de funcions diferenciables sobre una varietat simpléctica, la mecànica hamiltoniana es pot formular com un àlgebra de Poisson real unital comutativa general.

En esta formulació alternativa un estat és una funcional llineal contínua en l'àlgebra de Poisson $𝒜$, equipada d'alguna estructura topològica convenient. Les àlgebra de Poisson són importants en l'estudi de grups quàntics usats en la teoria quàntica de camps conforme, alguns models de cuantización d'espai-temps, etc.

Vore també

• Mecànica lagrangiana
• Mecànica routhiana

Referències

Bibliografia

• Landau & Lifshitz: Mecànica, Ed. Reverté, Barcelona, p.158 - 175, 1991. ISBN 84-291-4081-6.
• Weisstein, Eric W., "Hamiltonian"
• Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)

Enllaços externs

• ^{[enllaç trencat]}