Corchete de Poisson

En matemàtiques i mecànica clàssica, el corchete de Poisson és un important operador de la mecànica hamiltoniana, actuant com a peça fonamental en la definició de l'evolució temporal d'un sistema dinàmic en la formulació hamiltoniana. Des d'un punt de vista més general, el corchete de Poisson s'usa per a definir un àlgebra de Poisson, de les que les varietats de Poisson són un cas especial. Totes estes estan nomenades en honor a Siméon Denis Poisson.

Coordenades canòniques

Freqüentment el corchete de Poisson es definix de forma no intrínseca usant un conjunt de coordenades sobre l'espai de fases del sistema (encara que més alvance es dona la #Definició general en forma intrínseca). Usant coordenades canòniques $(q^i,p_j)$ sobre l'espai de fases $\Gamma$, el corchete de Poisson es pot expressar com:

Més formalment si $(U\subset \Gamma ,\phi )$ és una carta local, associada a les coordenades canòniques definides anteriorment, és dir:

El corchete de Poisson el pullback de l'anterior aplicació donada en (*):

Equacions del moviment

Les equacions de moviment d'Hamilton-Jacobi tenen una expressió equivalent en térmens del corchete de Poisson. Açò es pot demostrar directament prenent unes coordenades explícites. Imaginem que $f(q,p,t)$ és una funció en la varietat. Llavors es té que

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p,q,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

Llavors, cridant a $p=p(t)$ i $q=q(t)$ les solucions de les equacions d'Hamilton-Jacobi $\dot{q}=\partial H/\partial p$ i $\dot{p}=-\partial H/\partial q$, un pot escriure

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p,q,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{f,H\}$

Aixina, l'evolució temporal d'una funció f en una varietat simpléctica pot donar-se com una família uniparamétrica de variemorfismos, en el temps t sent el paràmetro. Rebujant les coordenades, es té

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f=(\frac{\partial }{\partial t}-\{H,\cdot \})f.$

L'operador $-\{H,\cdot \}$ es coneix com el liouvilliano.

Vore també

• Corchete de Lagrange