Àlgebra de Poisson

En matemàtiques, un àlgebra de Poisson és un àlgebra associativa junt en un corchete de Lie que ademés satisfà la regla de Leibniz, açò és, que el corchete és també una derivació. Les àlgebra de Poisson apareixen de forma natural en la mecànica hamiltoniana, i són també de gran importància en l'estudi dels grups quàntics. Les varietats en una estructura d'àlgebra de Poisson es coneixen com varietats de Poisson, d'entre les quals les varietats simplécticas i els grups de Poisson-Lie són casos particulars. Estes àlgebra duen el seu nom en honor de Siméon Denis Poisson.

Definició

Un àlgebra de Poisson és un espai vectorial sobre un cos $K$ dotada de dos productes bilineales, $\cdot$ i $\{,\}$, que tenen les següents propietats:

• El producte ⋅ forma una $K$-àlgebra associativa.
• El producte $\{,\}$, denominat corchete de Poisson, forma un àlgebra de Lie, i per tant és antisimètric i obedix l'identitat de Jacobi.
• El corchete de Poisson actua com una derivació del producte associatiu ⋅, de manera que para tots tres elements $x,y,z$ en l'àlgebra, es té que $\{x,y\cdot z\}=\{x,y\}\cdot z+y\cdot \{x,z\}$.

L'última propietat permet a sovint múltiples formulació per a l'àlgebra, com s'observa en els eixemples a continuació.

Eixemples

Les àlgebra de Poisson ocorren a sovint en distints casos.

Varietats simplécticas

L'espai de funcions contínuament diferenciables reals en una varietat simpléctica forma un àlgebra de Poisson. En una varietat simpléctica, tota funció real $H$ sobre la varietat induïx un camp vectorial $X_H$, el camp vectorial hamiltoniano. Aixina, donades dos funcions contínuament diferenciables $F$ i $G$ sobre la varietat simpléctica, el corchete de Poisson es pot definir com

$\{F,G\}=dG(X_F)=X_F(G)$.

Esta definició és consistent en part perque el corchete de Poisson actua com una derivació. De forma equivalent, es pot definir el corchete $\{,\}$ com

$X_{\{F,G\}}=[X_F,X_G]$

a on $[,]$ és la derivada de Lie. Quan la varietat simpléctica és ${ℝ}^{2n}$ en l'estructura simpléctica estàndar, el corchete de Poisson pren la forma coneguda

$\{F,G\}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}.$

Alguna cosa similar aplica a les varietats de Poisson, que generalisen les varietats simplécticas permetent que el bivector simpléctico s'anule en algun punt (o trivialmente en tots) de la varietat.

Àlgebra de Lie

l'àlgebra tensorial d'un àlgebra de Lie té estructura d'àlgebra de Poisson. Es pot construir explícitament pel següent método.

En primer lloc es construïx l'àlgebra tensorial del espai vectorial subjacent de l'àlgebra de Lie. L'àlgebra tensorial és simplement l'unió disjunta (suma directa $\oplus$) de tots els productes tensoriales de l'espai vectorial. Es pot provar que el corchete de Lie es pot alçar de forma consistent a tota l'àlgebra tensorial: obedix tant la regla de Leibniz com l'identitat de Jacobi, i per tant és un corchete de Poisson en alçar-se. El parell de productes $\{,\}$ i $\otimes$ formen per tant un àlgebra de Poisson. El producte $\otimes$ no és ni conmutativo ni anticonmutativo, simplement associatiu.

Aixina, queda demostrat que l'àlgebra tensorial de qualsevol àlgebra de Lie és un àlgebra de Poisson. l'àlgebra envolvente universal es pot obtindre a través de l'estructura d'àlgebra de Poisson.

Àlgebra associatives

Si $A$ és un àlgebra associativa, imponent el commutador $[x,y]=xy-yx$ es convertix en un àlgebra de Poisson (i per tant un àlgebra de Lie) $A_L$. L'àlgebra resultant $A_L$ no deu confondre's en la construcció d'àlgebra tensorial descrita en la secció anterior. Es pot també aplicar dita construcció, pero esta tirarà un àlgebra de Poisson diferent, que serà molt major.

Referències

• Plantilla:Springer
• Bhaskara; Viswanath, K. (1988). Poisson algebras and Poisson manifolds, Longman. ISBN 0-582-01989-3.