Cuantización

En física, una cuantización és un procediment matemàtic per a construir un model quàntic per a un sistema físic a partir de la seua descripció clàssica.

Definició formal

En concret donada la descripció hamiltoniana d'un sistema clàssic per mig d'una varietat simpléctica $(ℳ,\omega )$ es pot definir formalment el procés de cuantización com la construcció d'un espai de Hilbert $\mathscr{H}$ tal que al conjunt de magnituts físiques o observables mesurables en el sistema clàssic $f_i$ se li assigna un conjunt d'observables quàntics o operadors autoadjuntos ${\hat{f}}_i$ tals que:

1. $(f_i+f_j)\hat{}={\hat{f}}_i+{\hat{f}}_j$
2. $(\lambda f_i)\hat{}=\lambda {\hat{f}}_i\lambda \in ℝ$
3. $\{f_i,f_j\}\hat{}=-i[{\hat{f}}_i,{\hat{f}}_j]$
4. $\hat{1}=I_{\mathscr{H}}$
5. Els operadors de posició ${\hat{q}}_i$ i els seus moments conjugats ${\hat{p}}_i$ actuen irreduciblemente sobre $\mathscr{H}$.

A on $I_{\mathscr{H}}$ és l'aplicació identitat sobre l'espai de Hilbert assignat al sistema, $\{\cdot ,\cdot \}$ és el paréntesis de Poisson i $[\cdot ,\cdot ]$ és el commutador d'operadors.

Per la teorema de Stone-von Neumann la condició (5) implica que els graus de llibertat de desplaçament nos obliguen a prendre $\mathscr{H}\approx L^2({ℝ}^n)$ i un operador és multiplicativo i un atre derivativo. Aixina si s'usen la representació en forma de funció d'ona en térmens de les coordenades espacials:

${\hat{q}}_i\psi (q_i)=q_i\psi (q_i){\hat{p}}_i\psi (q_i)=-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_i}\psi (q_i)$

Si s'usen la representació en forma de funció d'ona en térmens de les coordenades de moment conjugat:

${\hat{p}}_i\psi (p_i)=p_i\tilde{\psi }(p_i){\hat{q}}_i\psi (p_i)=-i\hslash \frac{\partial }{\partial p_i}\tilde{\psi }(p_i)$

Sistemes cuantisables

Un sistema hamiltoniano clàssic definit sobre una varietat simpléctica $(ℳ,\omega )$ es diu cuantisable si existix un $S^1$-fibrado principal $\pi :{𝒬}_{ℳ}\to ℳ$ i una 1-forma $\alpha$ sobre ${𝒬}_{ℳ}$, cridada varietat de cuantización, tal que:

1. $\alpha$ és invariante baix l'acció de $S^1[\approx U(1)]$
2. ${\pi }^{*}\omega =d\alpha$

Un resultat arreplegat en Steenrod 1951 implica que una varietat és cuantisable si la segona classe de cohomología satisfà certa propietat:

$(ℳ,\omega )$ és cuantisable si i només si $\omega /h\in H^2(ℳ,\mathbb{Z})$, és dir l'integral de la forma simpléctica integrada sobre una varietat compacta de dimensió 2 és un número entero multiplicat per la constant de Planck. És més en aquells casos en que existix més d'un modo de cuantizar un sistema clàssic, les diferents cuantizaciones poden classificar-se d'acort en la forma de $H^1(ℳ,\mathbb{Z})$

Primera cuantización

Els procediments de primera cuantización són métodos que permeten construir models d'una partícula dins de la mecànica quàntica a partir de la corresponent descripció clàssica del espai de fases d'una partícula.

• La cuantización canònica és un procediment informal que assigna a una magnitut física (expressable en térmens de les coordenades canòniques del sistema clàssic), un operador obtingut per substitució directa de les variables canòniques per operadors hermíticos P_i i Q_i que satisfan les relacions [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 i [Q_i,P_j] = 0.
• La cuantización de Weyl és un procediment per a construir un operador hermítico sobre l'espai $L^2({ℝ}^n)$ per a un sistema que el seu espai de fases clàssic tinga una topología ${ℝ}^{2n}$. Esta tècnica va ser descrita per primera volta per Hermann Weyl en 1927.

Bibliografia

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quàntum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quàntum Theory of Fields (3 volumes)